Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 117 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 12  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Рациональный кубоид
СообщениеДобавлено: 16 мар 2018, 01:22 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6753
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 991
Спасибо получено:
491 раз в 460 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дан кубоид [math]a,b,c\in \mathbb{Q}[/math], где боковые диагонали [math]d,e,f\in \mathbb{Q}[/math] определяются уравнениями:

[math]d^{2}=a^{2}+b^{2}[/math]

[math]e^{2}=a^{2}+c^{2}[/math]

[math]f^{2}=b^{2}+c^{2}[/math]

а также пространственная диагональ определяется уравнением:

[math]g^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}[/math]

Положим: [math]a<b<c[/math]

Примем за единицу меньшее ребро: [math]a=1=a^2=\frac{ a }{ a }[/math], тогда:

[math]b^{2}=\frac{ n_{1} }{ m_{1} }[/math], где [math]n_{1} \in \mathbb{N}[/math], [math]m_{1} \in \mathbb{N}[/math] и [math]n_{1}>m_{1}[/math]

[math]c^{2}=\frac{ n_{2} }{ m_{2} }[/math], где [math]n_{2} \in \mathbb{N}[/math], [math]m_{2} \in \mathbb{N}[/math] и [math]n_{2}>m_{2}[/math]

Подставим переменные в стартовые уравнения:

[math]d^{2}=\frac{ a }{ a }+\frac{ n_{1} }{ m_{1} }=\frac{ am_{1}+an_{1} }{ am_{1} }=\frac{ m_{1}+n_{1} }{ m_{1} }[/math]


[math]e^{2}=\frac{ a }{ a }+\frac{ n_{2} }{ m_{2} }=\frac{ am_{2}+an_{2} }{ am_{2} }=\frac{ m_{2}+n_{2} }{ m_{2} }[/math]


[math]f^{2}=\frac{ n_{1} }{ m_{1} }+\frac{ n_{2} }{ m_{2} }=\frac{ n_{1} m_{2}+n_{2} m_{1} }{ m_{1}m_{2} }[/math]

[math]g^{2}=\frac{ a }{ a }+\frac{ n_{1} }{ m_{1} }+\frac{ n_{2} }{ m_{2} }=\frac{ am_{1}m_{2}+an_{1} m_{2}+an_{2} m_{1} }{ am_{1}m_{2} }=\frac{ m_{1}m_{2}+n_{1} m_{2}+n_{2} m_{1} }{ m_{1}m_{2} }[/math]

Отсюда:

[math]defg=\sqrt{\frac{ ( m_{1}+n_{1})(m_{2}+n_{2})(n_{1} m_{2}+n_{2} m_{1})(m_{1}m_{2}+n_{1} m_{2}+n_{2} m_{1}) }{ (m_{1}m_{2})^{3} } }[/math]

Если предположить, что существует рациональный кубоид, в котором [math]g \in \mathbb{Q}[/math], тогда [math]defg\in \mathbb{Q}[/math] и, по крайней мере, должно удовлетворяться деление без остатка:

[math]\frac{ ( m_{1}+n_{1})(m_{2}+n_{2})(n_{1} m_{2}+n_{2} m_{1})(m_{1}m_{2}+n_{1} m_{2}+n_{2} m_{1}) }{ m_{1}m_{2} } \in \mathbb{N}[/math], чтобы степень в знаменателе предыдущего уравнения сократилась с тройки до двойки, но это не так.

Верное рассуждение?

PS
Параметры кубоида можно домножить на любое рациональное число, то есть, всё, что выше, должно быть справедливо для всего множества кубоидов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Рациональный кубоид
СообщениеДобавлено: 17 мар 2018, 19:10 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 июл 2016, 23:44
Сообщений: 1038
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
29 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ой, новая ветка на форуме! :blush:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Рациональный кубоид
СообщениеДобавлено: 18 мар 2018, 13:40 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7006
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 783
Спасибо получено:
583 раз в 507 сообщениях
Очков репутации: -237

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
Дан кубоид [math]a,b,c\in \mathbb{Q}[/math], где боковые диагонали [math]d,e,f\in \mathbb{Q}[/math] определяются уравнениями:

[math]d^{2}=a^{2}+b^{2}[/math]

[math]e^{2}=a^{2}+c^{2}[/math]

[math]f^{2}=b^{2}+c^{2}[/math]

а также пространственная диагональ определяется уравнением:

[math]g^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}[/math]


Как я понимаю, рёбра кубоида a, b, c заданы. Тогда при чём здесь уравнения?
Может, надо говорить, что диагонали кубоида определяются по формулам?

В выкладки не вникала. Возник вопрос: чем рациональный кубоид отличается от совершенного кубоида?
Только тем, что у рационального кубоида рёбра заданы рациональными числами?

В фейсбуке пошарила, нашла сообщение из 2012 года, в котором цитируется Википедия. Сообщение называется "Рациональный кубоид".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Рациональный кубоид
СообщениеДобавлено: 18 мар 2018, 13:48 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7006
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 783
Спасибо получено:
583 раз в 507 сообщениях
Очков репутации: -237

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А между тем, на форуме boinc.ru сообщили 4 февраля с. г.
Цитата:
Начался новый этап поиска совершенного кубоида http://www.rechenkraft.net/yoyo/y_status_pcu.php
между 2^51 и 2^52

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Рациональный кубоид
СообщениеДобавлено: 05 авг 2018, 01:16 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6753
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 991
Спасибо получено:
491 раз в 460 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nataly-Mak писал(а):
Возник вопрос: чем рациональный кубоид отличается от совершенного кубоида?

Рациональный кубоид — это почти то же самое, что и совершенный кубоид, только рёбра, диагонали на гранях и пространственная диагональ у него не целые, а рациональные числа. Рациональный кубоид легко превращается в целочисленный путем умножения всех его линейных размеров на одно и то же целое число, поэтому нахождение рационального кубоида равносильно нахождению целочисленного совершенного кубоида. То есть, если найти рациональный кубоид, то можно найти и совершенный кубоид.

На этот раз, не будем ничего доказывать, просто попытаемся его найти. Будет интересно.

Положим, рациональный кубоид существует:

[math]a,b,c\in \mathbb{Q}[/math]

[math]d^{2}=a^{2}+b^{2}[/math]

[math]e^{2}=a^{2}+c^{2}[/math]

[math]f^{2}=b^{2}+c^{2}[/math]

[math]g^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}[/math]

[math]d,e,f,g \in \mathbb{Q}[/math], тогда:

[math]\frac{ def }{ g }=q[/math], где [math]q \in \mathbb{Q}[/math], следовательно:

[math]\frac{ (a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2}) }{ a^{2}+b^{2}+c^{2} }=q^{2}[/math], где [math]q \in \mathbb{Q}[/math]

Пусть:

[math]x=a^{2}[/math]

[math]y=b^{2}[/math]

[math]z=c^{2}[/math]

[math]x,y,z \in \mathbb{Q}[/math]

[math]\frac{ (x+y)(x+z)(y+z) }{ x+y+z } =\frac{ x^{2}y+y^{2}x }{ x+y+z }+z(x+y)=q^{2}[/math]

Для удобства, примем пространственную диагональ за единичный отрезок: [math]g=1[/math], тогда:

[math]x+y+z=1[/math], подставив в предыдущее выражение, получаем:

[math]x^{2}y+y^{2}x+z(x+y)=q^{2}[/math]

Таким образом, вышла простая система уравнений:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& x+y+z=1 \\
& x^{2}y+y^{2}x+z(x+y)=q^{2}
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& xy(x+y)+z(x+y)=q^{2} \\
& x+y=1-z
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& xy(1-z)+z(1-z)=q^{2} \\
& x+y=1-z
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& (1-z)(xy+z)=q^{2} \\
& x+y=1-z
\end{aligned}\right.[/math]


Из верхнего уравнения:

[math](1-z)(xy+z)=q^{2}[/math], где [math]q \in \mathbb{Q}[/math]

вытекает формула квадратов:

[math](1-z)(1+z)=q^{2}[/math]

или: [math]1-z^{2}=q^{2}[/math],

следовательно: [math]xy=1[/math]

Таким образом, получаем ещё одну систему:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& x+y+z=1 \\
& xy=1
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& x=1-y-z \\
& (1-y-z)y=1
\end{aligned}\right.[/math]


Итак, решением нижнего уравнения [math](1-y-z)y=1[/math] имеем две гиперболы во втором и в четвёртом квадрантах:

wolframalpha.com

Таким образом, две переменные [math]z[/math] и [math]y[/math] не могут быть одновременно положительными, а это противоречит условию.
Невозможность найти рациональный кубоид означает невозможность найти совершенный кубоид.
С Уважением.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Рациональный кубоид
СообщениеДобавлено: 05 авг 2018, 04:48 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 июл 2016, 23:44
Сообщений: 1038
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
29 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Рациональный кубоид
СообщениеДобавлено: 05 авг 2018, 05:34 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 июл 2016, 23:44
Сообщений: 1038
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
29 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дело в том, что если:

[math](1-z)(xy+z)=q^{2}[/math]

то неправомерно утверждать, что:

[math]xy=1[/math]

Здесь должно соблюдаться неравенство [math](1-z)(xy+z) > 0[/math]
очевидно, что:

[math]0 < z < 1[/math]
[math]x > 0[/math]
[math]y > 0[/math]

Таким образом, произведение [math]xy[/math] может быть любым положительным числом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Рациональный кубоид
СообщениеДобавлено: 05 авг 2018, 08:45 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6753
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 991
Спасибо получено:
491 раз в 460 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А вот дело в том, что в правой части этого уравнения квадрат числа, а не любое число, большее нуля:

[math](1-z)(xy+z)=q^{2}[/math]

пусть:

[math]o^{2}=(1-z)[/math]

[math]p^{2}=(xy+z)[/math]

тогда:

[math]o^{2}p^{2}=q^{2}[/math]

[math]q=op[/math], [math]q \in \mathbb{Q}[/math]

рассмотрим:

[math]o^{2}=(1-z)[/math], где [math]g^{2}=1[/math], так как [math]g=1[/math] и [math]z^{2}=c^{2}[/math] по условию

[math]o^{2}=(g^{2}-c^{2})=(a^{2}+b^{2}+c^{2})-c^{2}=d^{2}[/math], так как [math]d \in \mathbb{Q}[/math], то и [math]o \in \mathbb{Q}[/math]

рассмотрим:

[math]p^{2}=(xy+z)[/math], где [math]x=a^{2}[/math], [math]y=b^{2}[/math] и [math]z=c^{2}[/math] по условию

[math]p^{2}=a^{2}b^{2}+c^{2}[/math], тогда вспоминаем Диофантовы уравнения, данные в самом начале, и делаем вывод: [math]p \in \mathbb{Q}[/math] только в том случае, когда [math]a^{2}b^{2}=1[/math], то есть: [math]xy=1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Рациональный кубоид
СообщениеДобавлено: 05 авг 2018, 14:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 июл 2016, 23:44
Сообщений: 1038
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
29 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap
Любое положительное число - квадрат какого-то числа.
Можешь походить по форуму поспрашивать.

Просто подставь любые значения из области определений.

Неправомерно заменять [math]xy[/math] на 1 только потому, что получается разность квадратов, почему не заменить на 2 или 3?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Рациональный кубоид
СообщениеДобавлено: 05 авг 2018, 16:53 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 июл 2016, 23:44
Сообщений: 1038
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
29 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap
Ты просто подтянул к разности квадратов не верной подстановкой.
Подставь в выражение [math]\frac{ x^{2}y+y^{2}x }{ x+y+z }+z(x+y)=q^{2}[/math] вместо [math]xy[/math] единицу и удивись.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 12  След.  Страница 1 из 12 [ Сообщений: 117 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Совершенный кубоид

в форуме Размышления по поводу и без

Nataly-Mak

561

95885

06 сен 2017, 13:27

Гнем кубоид

в форуме Палата №6

ivashenko

0

9410

27 май 2019, 22:41

Кубоид. Ностальгия

в форуме Геометрия

FEBUS

39

1301

07 июн 2020, 17:44

Совершенный кубоид. Отладка

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

3axap

86

1289

15 апр 2022, 00:40

Однопарам ф-ла для ТП и кубоид Эйлера

в форуме Дискуссионные математические проблемы

3axap

29

581

07 июл 2022, 00:36


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved