Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: В чем мое заблуждение? (Ряды и множества)
СообщениеДобавлено: 25 фев 2018, 09:21 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, это снова я со своими вопросами. Итак, вновь рассмотрим бесконечный знакопеременный ряд, члены которого сгруппированы следующим образом:
[math]\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}-\frac{1}{2*3})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{2*5}-\frac{1}{3*5}+\frac{1}{2*3*5})+[/math]
[math]+(\frac{1}{7}-\frac{1}{2*7}-\frac{1}{3*7}-\frac{1}{5*7}+\frac{1}{2*3*7}+\frac{1}{2*5*7}+\frac{1}{3*5*7}-\frac{1}{2*3*5*7})+[/math]
[math]+(\frac{1}{11}-\frac{1}{2*11}-\frac{1}{3*11}-\frac{1}{5*11}-\frac{1}{7*11}+\frac{1}{2*3*11}+\frac{1}{2*5*11}+\frac{1}{2*7*11}+\frac{1}{3*5*11}+\frac{1}{3*7*11}+[/math]
[math]+\frac{1}{5*7*11}-\frac{1}{2*3*5*11}-\frac{1}{2*3*7*11}-\frac{1}{2*5*7*11}-\frac{1}{3*5*7*11}+\frac{1}{2*3*5*7*11})+.........=1-\prod\limits_{n} \left(1-\frac1{p_n}\right)[/math]

Каждой скобке соответствует простое число [math]p_n, n\in Z \geqslant 0[/math], поэтому количество скобок - бесконечное счетное множество, мощности [math]\alef_0[/math]. С другой стороны, в знаменателе слагаемых стоят натуральные числа, свободные от квадратов, причем каждое из них встречается в ряду ровно один раз, из чего можно заключить, что множество слагаемых также является бесконечным счетным. Однако, количество слагаемых в каждой скобке равно [math]2^n[/math], а количество слагаемых в ряду равно [math]\sum_{n=0}^{\infty}2^n=2\cdot2^\infty[/math], что, насколько я понимаю, равно континууму.

Мне сказали, что здесь описаны только конечные подмножества множества простых чисел. Но ведь над знаком суммы [math]\sum_{n=0}^{\infty}2^n=2\cdot2^\infty[/math] стоит бесконечность? Как же тогда определить континуальное множество, если не так, показав, что количество его элементов равно [math]2^\infty[/math]? Или же я не имею права в данном случае писать над знаком суммы бесконечность? Тогда непонятно почему? Я считаю, что при рассмотрении бесконечного счетного множества скобок данного ряда, количество слагаемых в нем - континуум. А при рассмотрении не сгруппированного ряда, где знаменатели упорядочены в порядке возрастания, мощность множества слагаемых равна [math]\alef_0[/math]. Т.е. перегруппировкой членов ряда можно добиться изменения его мощности с [math]\alef_0[/math] на [math]\alef[/math]. Прошу переубедить меня, указав на ошибки в рассуждениях.

Заранее благодарю за ответы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: В чем мое заблуждение? (Ряды и множества)
СообщениеДобавлено: 25 фев 2018, 12:15 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот более простой вопрос, ответ на который возможно может мне помочь понять мою ошибку:

Справедливо ли выражение:[math]\sum_{i=1}^\infty(\frac{i}{i})=\aleph_0[/math]?

Если оно не справедливо, то почему?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Парадокс или моё заблуждение? (О рядах и мощностях множеств)

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

4

237

24 фев 2018, 18:03

Счётность множества всех подмножеств счетного множества

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Uebermarginal

4

111

08 фев 2024, 19:56

Найти для множества А образ множества Г(А)

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Vedon4ick

0

185

10 апр 2023, 01:16

Ряды

в форуме Ряды

photographer

1

292

02 май 2015, 13:18

Ряды

в форуме Ряды

photographer

1

352

25 мар 2015, 14:58

Ряды

в форуме Ряды

photographer

1

340

05 мар 2015, 21:39

Ряды

в форуме Ряды

n971030

4

343

11 янв 2015, 13:48

Ряды

в форуме Ряды

Hsad

9

474

25 ноя 2014, 21:28

Ряды

в форуме Ряды

atotsenko

2

233

25 окт 2014, 19:04

Ряды

в форуме Ряды

Anastas

4

370

09 июн 2014, 13:32


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved