Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Счётность множества действительных чисел?
СообщениеДобавлено: 26 дек 2017, 10:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 дек 2017, 08:39
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день, математики!
Прочитав мой вопрос, вы можете подумать, что занимаюсь тролингом, но это не так. Я действительно хочу разобраться.
На прямую с теоретической математикой я не работаю, это моё увлечение. Поэтому прошу отнестись с пониманием, если точность формулировок будет отличаться от принятых в математике.
Итак, к делу.

Я поставил под сомнение несчётность множества натуральных чисел.
В университете нам доказывали, что множество действительных чисел несчётно и приводили замечательное доказательство Кантора. Повторять его не буду, все прекрасно его знают, впрочем я ниже косвенно буду пользоваться им. Сама идея его в том, что невозможно сопоставить дробному числу из интервала (0; 1) натуральное число. А если получится сопоставить, то множества получаются равномощными?
Если я буду перенумеровывать числа из этого отрезка, так:
1 - 0,1000000...
2 - 0,2000000...
3 - 0,3000000...
...
10 - 0,010000...
11 - 0,110000...
12 - 0,210000...
...
7981234710347912 - 0,21974301743218970000...
7981234710347913 - 0,31974301743218970000...
7981234710347914 - 0,41974301743218970000...
...
и так далее

то я перенумерую их или нет? Вроде как каждому можно сопоставить натуральное число.

Теперь подойдём с другой стороны.
Множество натуральных чисел несчётно... Отзеркалим доказательство Кантора.
Любое натуральное число можно представить в виде бесконечного числа цифр дописывая слева ничего не значащие нули, например: 34 = 0000...00034, 2 = 0000...0002 и т.д. Теперь начинаем выписывать натуральные числа и считать их:
A[math]_{1}^{(n)}[/math] A[math]_{1}^{(n-1)}[/math] ... A[math]_{1}^{(2)}[/math] A[math]_{1}^{(1)}[/math]

A[math]_{2}^{(n)}[/math] A[math]_{2}^{(n-1)}[/math] ... A[math]_{2}^{(2)}[/math] A[math]_{2}^{(1)}[/math]
....................................................................................
A[math]_{n-1}^{(n)}[/math] A[math]_{n-1}^{(n-1)}[/math] ... A[math]_{n-1}^{(2)}[/math] A[math]_{n-1}^{(1)}[/math]

A[math]_{n}^{(n)}[/math] A[math]_{n}^{(n-1)}[/math] ... A[math]_{n}^{(2)}[/math] A[math]_{n}^{(1)}[/math]
....................................................................................
и так далее

Предположим мы перенумеровали все числа. А потом по аналогии с доказательством Кантора начинаем составлять новое выписывая отличные числа:
B[math]_{n}[/math] [math]\ne[/math] A[math]_{n}^{(n)}[/math], B[math]_{n-1}[/math] [math]\ne[/math] A[math]_{n-1}^{(n-1)}[/math], ... , B[math]_{1}[/math] [math]\ne[/math] A[math]_{1}^{(1)}[/math]. Получается число отличное от всех перенумерованных.

В чём подвох? Где я налажал?

На эти мысли меня натолкнул такой "парадокс":
Вы наверное знаете, что сумма бесконечного ряда +1-1+1-1+1-1+... = 1/2, но если переставить +1 и -1 местами, получится -1+1-1+1-1+1-... = -1/2.

С уважением.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Счётность множества действительных чисел?
СообщениеДобавлено: 26 дек 2017, 10:21 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Timofey-p
Timofey-p писал(а):
Я поставил под сомнение несчётность множества натуральных чисел.

Timofey-p писал(а):
Множество натуральных чисел несчётно...

Что Вы подразумеваете под несчётностью множества натуральных чисел?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Счётность множества действительных чисел?
СообщениеДобавлено: 26 дек 2017, 10:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 дек 2017, 08:39
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
Timofey-p
Что Вы подразумеваете под несчётностью множества натуральных чисел?

Вы правы. Тут я как бы намекаю на то что множество не равно само себе. Показываю парадокс.
Т.е. если нумеровать члены множества в другом порядке, то мы их не сможем перенумеровать. Примерно это подразумеваю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Счётность множества действительных чисел?
СообщениеДобавлено: 26 дек 2017, 10:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 дек 2017, 08:39
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хорошо. Давайте не будем о несчётности множества натуральных чисел, это я загнул.
Но где у меня закралась ошибка в "счётности множества действительных чисел"?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Счётность множества действительных чисел?
СообщениеДобавлено: 26 дек 2017, 10:49 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Timofey-p
Вы ставите под сомнение счётность множества натуральных чисел или несчётность множества натуральных чисел?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Счётность множества действительных чисел?
СообщениеДобавлено: 26 дек 2017, 11:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 дек 2017, 08:39
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Основной вопрос в заголовке.
Timofey-p писал(а):
Я поставил под сомнение несчётность множества натуральных чисел.

Извиняюсь, неверно написал в своём первом посте! Конечно не натуральные, а действительные!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Счётность множества действительных чисел?
СообщениеДобавлено: 26 дек 2017, 11:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Timofey-p писал(а):
то я перенумерую их или нет? Вроде как каждому можно сопоставить натуральное число

Не каждому. Какое натуральное число перейдет в [math]\pi-3=0.14159...[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Счётность множества действительных чисел?
СообщениеДобавлено: 26 дек 2017, 12:24 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть 3 занимательных множества:
натуральные числа (их счетное число),
рациональный числа, это дроби, их тоже счетное число и Вы это хотели передоказать
действительные числа это целое + последовательность цифр после запятой например 1,2112111211112..., их континуум
Хотите усомниться и доказать обратное, почему бы и нет, но внимательней, берите не только дробные, swan уже заметил, что у вас не все действительные числа

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Счётность множества действительных чисел?
СообщениеДобавлено: 27 дек 2017, 02:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 дек 2017, 08:39
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Не каждому. Какое натуральное число перейдет в [math]\pi-3=0.14159...[/math]?

Т. е. в этом случае я не могу сказать с какого числа будет начинаться порядковый номер получившегося числа?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Счётность множества действительных чисел?
СообщениеДобавлено: 27 дек 2017, 06:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 дек 2017, 08:39
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Соответственно не могу пересчитать все числа.
...блин, но в то же время оно где-то есть в этой последовательности, правда я не могу указать под каким порядковым номером.
Поэтому множество действительных чисел несчётно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Несчетность множества действительных чисел

в форуме Теория чисел

vlad777

5

992

07 ноя 2014, 15:51

Отображение, мощность множества действительных чисел

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

n-0-0-b

5

572

23 окт 2014, 09:35

Доказательство несчетности множества действительных чисел

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

fingolfin

11

1013

14 янв 2017, 15:09

Счётность множества всех подмножеств счетного множества

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Uebermarginal

4

110

08 фев 2024, 19:56

Счетность множества

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

zlob

1

2809

25 окт 2019, 08:12

Сумма и произведение действительных чисел

в форуме Алгебра

Torro

7

484

05 мар 2018, 20:58

Счетно ли множество действительных чисел?

в форуме Палата №6

ivashenko

13

1206

21 янв 2016, 02:49

Доказательство несчётности действительных чисел

в форуме Размышления по поводу и без

52heartz

13

1157

17 ноя 2017, 22:26

Что обозначает цифра над полем действительных чисел?

в форуме Дифференциальное исчисление

traicool96

1

481

22 сен 2015, 22:47

Неприводимые многочлены над полем действительных чисел

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

underskyer

4

286

15 апр 2023, 14:17


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved