Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Timofey-p |
|
|
Прочитав мой вопрос, вы можете подумать, что занимаюсь тролингом, но это не так. Я действительно хочу разобраться. На прямую с теоретической математикой я не работаю, это моё увлечение. Поэтому прошу отнестись с пониманием, если точность формулировок будет отличаться от принятых в математике. Итак, к делу. Я поставил под сомнение несчётность множества натуральных чисел. В университете нам доказывали, что множество действительных чисел несчётно и приводили замечательное доказательство Кантора. Повторять его не буду, все прекрасно его знают, впрочем я ниже косвенно буду пользоваться им. Сама идея его в том, что невозможно сопоставить дробному числу из интервала (0; 1) натуральное число. А если получится сопоставить, то множества получаются равномощными? Если я буду перенумеровывать числа из этого отрезка, так: ▼
то я перенумерую их или нет? Вроде как каждому можно сопоставить натуральное число. Теперь подойдём с другой стороны. Множество натуральных чисел несчётно... Отзеркалим доказательство Кантора. Любое натуральное число можно представить в виде бесконечного числа цифр дописывая слева ничего не значащие нули, например: 34 = 0000...00034, 2 = 0000...0002 и т.д. Теперь начинаем выписывать натуральные числа и считать их: ▼
Предположим мы перенумеровали все числа. А потом по аналогии с доказательством Кантора начинаем составлять новое выписывая отличные числа: B[math]_{n}[/math] [math]\ne[/math] A[math]_{n}^{(n)}[/math], B[math]_{n-1}[/math] [math]\ne[/math] A[math]_{n-1}^{(n-1)}[/math], ... , B[math]_{1}[/math] [math]\ne[/math] A[math]_{1}^{(1)}[/math]. Получается число отличное от всех перенумерованных. В чём подвох? Где я налажал? На эти мысли меня натолкнул такой "парадокс": Вы наверное знаете, что сумма бесконечного ряда +1-1+1-1+1-1+... = 1/2, но если переставить +1 и -1 местами, получится -1+1-1+1-1+1-... = -1/2. С уважением. |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Timofey-p
Timofey-p писал(а): Я поставил под сомнение несчётность множества натуральных чисел. Timofey-p писал(а): Множество натуральных чисел несчётно... Что Вы подразумеваете под несчётностью множества натуральных чисел? |
||
Вернуться к началу | ||
Timofey-p |
|
|
Andy писал(а): Timofey-p Что Вы подразумеваете под несчётностью множества натуральных чисел? Вы правы. Тут я как бы намекаю на то что множество не равно само себе. Показываю парадокс. Т.е. если нумеровать члены множества в другом порядке, то мы их не сможем перенумеровать. Примерно это подразумеваю. |
||
Вернуться к началу | ||
Timofey-p |
|
|
Хорошо. Давайте не будем о несчётности множества натуральных чисел, это я загнул.
Но где у меня закралась ошибка в "счётности множества действительных чисел"? |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Timofey-p
Вы ставите под сомнение счётность множества натуральных чисел или несчётность множества натуральных чисел? |
||
Вернуться к началу | ||
Timofey-p |
|
|
Основной вопрос в заголовке.
Timofey-p писал(а): Я поставил под сомнение несчётность множества натуральных чисел. Извиняюсь, неверно написал в своём первом посте! Конечно не натуральные, а действительные! |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Timofey-p писал(а): то я перенумерую их или нет? Вроде как каждому можно сопоставить натуральное число Не каждому. Какое натуральное число перейдет в [math]\pi-3=0.14159...[/math]? |
||
Вернуться к началу | ||
Slon |
|
|
Есть 3 занимательных множества:
натуральные числа (их счетное число), рациональный числа, это дроби, их тоже счетное число и Вы это хотели передоказать действительные числа это целое + последовательность цифр после запятой например 1,2112111211112..., их континуум Хотите усомниться и доказать обратное, почему бы и нет, но внимательней, берите не только дробные, swan уже заметил, что у вас не все действительные числа |
||
Вернуться к началу | ||
Timofey-p |
|
|
swan писал(а): Не каждому. Какое натуральное число перейдет в [math]\pi-3=0.14159...[/math]? Т. е. в этом случае я не могу сказать с какого числа будет начинаться порядковый номер получившегося числа? |
||
Вернуться к началу | ||
Timofey-p |
|
|
Соответственно не могу пересчитать все числа.
...блин, но в то же время оно где-то есть в этой последовательности, правда я не могу указать под каким порядковым номером. Поэтому множество действительных чисел несчётно? |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |