Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 2 из 2 |
[ Сообщений: 14 ] | На страницу Пред. 1, 2 |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
3D Homer |
|
|
52heartz писал(а): Значит требовалось доказать в точности следующее: Это правильная цель доказательства от противного (каковым и является доказательство по ссылке). То есть предполагается, что биекция существует, и нужно доказать то, что вы говорите, под словом "соответствует" подразумевая именно это биекцию. Вообще же требуется доказать, что биекции не существует. Поэтому нельзя сказать, что целью теоремы Кантора является доказать, что у действительного числа нет прообраза или есть более одного прообраза, потому что возникает вопрос: прообраза по отношению к какому отображению? Ведь в доказательстве отсутствия биекции и есть цель теоремы.1) либо на заданном отрезке действительных чисел существует элемент, которому не соответствует никакое натуральное число или соответствуют несколько одновременно; 2) либо то же самое, но со стороны натуральных чисел: т.е. существует хотя бы одно натуральное число, не имеющее соответствующей ему точки на отрезке, либо соответствующее сразу нескольким разным точкам. 52heartz писал(а): В таком случае возникает вопрос: а что дает раздаление на x[math]_{n}[/math] [math]\notin[/math] [math]\left[ a_{n}; b_{n} \right][/math]? Ведь в каждом случае x[math]_{n}[/math] остается пронумерованым, и требований "взаимной однозначности" не нарушает. Так же не вижу не-биекции в том, что должна существовать единственно возможная точка [math]\xi[/math], принадлежащая всей бесконечной вложенности отрезков, т.к. и она тоже имеет некоторое уникальное n. Доказательство утверждения вида [math]\neg\exists x\,P(x)[/math] идет следующим образом. Предполагается [math]\exists x\,P(x)[/math], и оттуда требуется вывести противоречие. Из предположения [math]\exists x\,P(x)[/math] мы можем рассмотреть [math]x[/math], которые делает [math]P(x)[/math] истинным, но не должны предполагать об этом [math]x[/math] никаких других свойств. Этот [math]x[/math] можно использовать до тех пор, пока не будет получено противоречие.В данном доказательстве предполагается, что биекция существует. Следовательно, эту биекцию можно использовать до самого конца доказательства, то есть до получения противоречия. Мы не может ничего предполагать об этом отображении, кроме того, что это биекция, в частности, недостаточно рассмотреть какое-то конкретное отображение. Противоречие получается из того, что [math]x_{n_0}\in[a_{n_0},b_{n_0}][/math] (поскольку [math]\xi=x_{n_0}\in[a_n,b_n][/math] для любого [math]n[/math] по определению [math]\xi[/math]) и [math]x_{n_0}\notin[a_{n_0},b_{n_0}][/math] (по определению [math]a_{n_0}[/math] и [math]b_{n_0}[/math]). |
||
Вернуться к началу | ||
52heartz |
|
|
3D Homer
Да, но мы также не можем не задумываться о смысле доказательства. Насколько я понимаю, идея "доказательства как определенных манипуляций с определенными символами" (а-ля формальные системы) - была убита Геделем. Поэтому я ставлю вопрос о смысле этих манипуляций символами: нам требуется доказать: 1) либо биекция в принципе невозможна, 2) либо предположить, что она возможно и придти к противоречию. В предложенном мной доказательстве автор тоже приходит к противоречию, вот только ничего общего не имеющего с невозможностью биекции: все, что он доказывает, так это именно следующее: продолжать x[math]_{n}[/math] [math]\notin[/math] [math]\left[ a_{n} ; b_{n} \right][/math] бесконечно - невозможно. Однако, вместе с тем: все точки, включая и [math]\xi[/math], остаются пронумерованными в соответствии с требованиями биекции/взаимной однозначности. |
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
52heartz писал(а): Да, но мы также не можем не задумываться о смысле доказательства. Смысл этого доказательства вполне традиционен. Я осмелюсь предположить, что логика доказательства вызывает у вас затруднение из-за того, что вы сами изучили и составили недостаточно много доказательств.52heartz писал(а): нам требуется доказать: 1) либо биекция в принципе невозможна, 2) либо предположить, что она возможно и придти к противоречию. Второе также есть доказательство того, что биекция в принципе невозможна. В математике есть только один способ доказательства утверждения вида [math]\neg A[/math] (не-[math]A[/math]): предположить [math]A[/math] и прийти к противоречию.52heartz писал(а): В предложенном мной доказательстве автор тоже приходит к противоречию, вот только ничего общего не имеющему с невозможностью биекции Все противоречия равносильны: если [math]A[/math] и [math]B[/math] — два утверждения, то из [math]A\land\neg A[/math] следует [math]B\land\neg B[/math] и обратно. На самом деле из [math]A\land\neg A[/math] следует все вообще утверждения. Поэтому неважно, какое противоречие вы получаете при доказательстве [math]\neg A[/math].52heartz писал(а): Однако, вместе с тем: все точки, включая и ξ, остаются пронумерованными в соответствии с требованиями биекции/взаимной однозначности. Да, в предположении, что [math]n\mapsto x_n[/math] — биекция. Все математические утверждения доказываются в каких-то предположениях (возможно, при пустом множестве предположений), и то, что ложно без предположений вполне может быть истинным при некоторых предположениях. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали: Andy |
||
52heartz |
|
|
3D Homer писал(а): Да, в предположении, что n↦xn n↦xn — биекция. Все математические утверждения доказываются в каких-то предположениях (возможно, при пустом множестве предположений), и то, что ложно без предположений вполне может быть истинным при некоторых предположениях. То-то и оно. Сделано предположение, что биекция есть. Противоречия с этим в доказательстве нет. Проиворечие там с совершенно другим утверждением, которое явно нигде не объявлено, а "подразумевается". Это и вызывало у меня недоумение. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу Пред. 1, 2 | [ Сообщений: 14 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |