Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу Пред.  1, 2
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство несчётности действительных чисел
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2017, 16:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
52heartz писал(а):
Значит требовалось доказать в точности следующее:
1) либо на заданном отрезке действительных чисел существует элемент, которому не соответствует никакое натуральное число или соответствуют несколько одновременно;
2) либо то же самое, но со стороны натуральных чисел: т.е. существует хотя бы одно натуральное число, не имеющее соответствующей ему точки на отрезке, либо соответствующее сразу нескольким разным точкам.
Это правильная цель доказательства от противного (каковым и является доказательство по ссылке). То есть предполагается, что биекция существует, и нужно доказать то, что вы говорите, под словом "соответствует" подразумевая именно это биекцию. Вообще же требуется доказать, что биекции не существует. Поэтому нельзя сказать, что целью теоремы Кантора является доказать, что у действительного числа нет прообраза или есть более одного прообраза, потому что возникает вопрос: прообраза по отношению к какому отображению? Ведь в доказательстве отсутствия биекции и есть цель теоремы.

52heartz писал(а):
В таком случае возникает вопрос: а что дает раздаление на x[math]_{n}[/math] [math]\notin[/math] [math]\left[ a_{n}; b_{n} \right][/math]? Ведь в каждом случае x[math]_{n}[/math] остается пронумерованым, и требований "взаимной однозначности" не нарушает. Так же не вижу не-биекции в том, что должна существовать единственно возможная точка [math]\xi[/math], принадлежащая всей бесконечной вложенности отрезков, т.к. и она тоже имеет некоторое уникальное n.
Доказательство утверждения вида [math]\neg\exists x\,P(x)[/math] идет следующим образом. Предполагается [math]\exists x\,P(x)[/math], и оттуда требуется вывести противоречие. Из предположения [math]\exists x\,P(x)[/math] мы можем рассмотреть [math]x[/math], которые делает [math]P(x)[/math] истинным, но не должны предполагать об этом [math]x[/math] никаких других свойств. Этот [math]x[/math] можно использовать до тех пор, пока не будет получено противоречие.

В данном доказательстве предполагается, что биекция существует. Следовательно, эту биекцию можно использовать до самого конца доказательства, то есть до получения противоречия. Мы не может ничего предполагать об этом отображении, кроме того, что это биекция, в частности, недостаточно рассмотреть какое-то конкретное отображение. Противоречие получается из того, что [math]x_{n_0}\in[a_{n_0},b_{n_0}][/math] (поскольку [math]\xi=x_{n_0}\in[a_n,b_n][/math] для любого [math]n[/math] по определению [math]\xi[/math]) и [math]x_{n_0}\notin[a_{n_0},b_{n_0}][/math] (по определению [math]a_{n_0}[/math] и [math]b_{n_0}[/math]).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство несчётности действительных чисел
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2017, 17:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 ноя 2017, 12:11
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3D Homer
Да, но мы также не можем не задумываться о смысле доказательства. Насколько я понимаю, идея "доказательства как определенных манипуляций с определенными символами" (а-ля формальные системы) - была убита Геделем. Поэтому я ставлю вопрос о смысле этих манипуляций символами: нам требуется доказать: 1) либо биекция в принципе невозможна, 2) либо предположить, что она возможно и придти к противоречию. В предложенном мной доказательстве автор тоже приходит к противоречию, вот только ничего общего не имеющего с невозможностью биекции: все, что он доказывает, так это именно следующее: продолжать x[math]_{n}[/math] [math]\notin[/math] [math]\left[ a_{n} ; b_{n} \right][/math] бесконечно
- невозможно.

Однако, вместе с тем: все точки, включая и [math]\xi[/math], остаются пронумерованными в соответствии с требованиями биекции/взаимной однозначности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство несчётности действительных чисел
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2017, 17:25 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
52heartz писал(а):
Да, но мы также не можем не задумываться о смысле доказательства.
Смысл этого доказательства вполне традиционен. Я осмелюсь предположить, что логика доказательства вызывает у вас затруднение из-за того, что вы сами изучили и составили недостаточно много доказательств.

52heartz писал(а):
нам требуется доказать: 1) либо биекция в принципе невозможна, 2) либо предположить, что она возможно и придти к противоречию.
Второе также есть доказательство того, что биекция в принципе невозможна. В математике есть только один способ доказательства утверждения вида [math]\neg A[/math] (не-[math]A[/math]): предположить [math]A[/math] и прийти к противоречию.

52heartz писал(а):
В предложенном мной доказательстве автор тоже приходит к противоречию, вот только ничего общего не имеющему с невозможностью биекции
Все противоречия равносильны: если [math]A[/math] и [math]B[/math] — два утверждения, то из [math]A\land\neg A[/math] следует [math]B\land\neg B[/math] и обратно. На самом деле из [math]A\land\neg A[/math] следует все вообще утверждения. Поэтому неважно, какое противоречие вы получаете при доказательстве [math]\neg A[/math].

52heartz писал(а):
Однако, вместе с тем: все точки, включая и ξ, остаются пронумерованными в соответствии с требованиями биекции/взаимной однозначности.
Да, в предположении, что [math]n\mapsto x_n[/math] — биекция. Все математические утверждения доказываются в каких-то предположениях (возможно, при пустом множестве предположений), и то, что ложно без предположений вполне может быть истинным при некоторых предположениях.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство несчётности действительных чисел
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2017, 17:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 ноя 2017, 12:11
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3D Homer писал(а):
Да, в предположении, что n↦xn
n↦xn
— биекция. Все математические утверждения доказываются в каких-то предположениях (возможно, при пустом множестве предположений), и то, что ложно без предположений вполне может быть истинным при некоторых предположениях.

То-то и оно. Сделано предположение, что биекция есть. Противоречия с этим в доказательстве нет. Проиворечие там с совершенно другим утверждением, которое явно нигде не объявлено, а "подразумевается". Это и вызывало у меня недоумение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2  Страница 2 из 2 [ Сообщений: 14 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказательство несчетности множества действительных чисел

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

fingolfin

11

1013

14 янв 2017, 15:09

Вопросы о доказательстве несчетности действительных чисел

в форуме Размышления по поводу и без

creator4

35

710

16 фев 2020, 21:35

Сумма и произведение действительных чисел

в форуме Алгебра

Torro

7

484

05 мар 2018, 20:58

Счетно ли множество действительных чисел?

в форуме Палата №6

ivashenko

13

1206

21 янв 2016, 02:49

Несчетность множества действительных чисел

в форуме Теория чисел

vlad777

5

992

07 ноя 2014, 15:51

Счётность множества действительных чисел?

в форуме Размышления по поводу и без

Timofey-p

10

865

26 дек 2017, 10:01

Что обозначает цифра над полем действительных чисел?

в форуме Дифференциальное исчисление

traicool96

1

481

22 сен 2015, 22:47

Отображение, мощность множества действительных чисел

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

n-0-0-b

5

572

23 окт 2014, 09:35

Неприводимые многочлены над полем действительных чисел

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

underskyer

4

286

15 апр 2023, 14:17

Одно непонятное свойство двух действительных чисел

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

2

335

18 авг 2016, 00:47


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved