Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Xenia1996 |
|
||
Какой наименьший периметр может иметь мазманаческий четырёхугольник? |
|||
Вернуться к началу | |||
swan |
|
||
[math]A(0,0) \quad B(0,3) \quad C(11,3) \quad D(7,0)[/math]
[math]P_{ABCD}=26[/math] Двойке сторона в таком четырехугольнике равняться не может. Эскиз доказательства: Если сторона равна 2, то идти она должна только параллельно оси. Перенесем одну из вершин этой стороны в ноль, по другой пустим ось Y. [math]A(0,0) \quad B(0,2)[/math] Пусть координаты [math]D(a,b)[/math], [math]C(c,d)[/math] [math]a^2+b^2=p^2[/math] [math](a-c)^2+(b-d)^2=q^2[/math] [math]c^2+(d-2)^2=r^2[/math] Поскольку [math]a+b+(a-c)+(b-d)+(d-2)+c=2a+2b-2[/math] - четно, то также четно будет и [math]a^2+b^2+(a-c)^2+(b-d)^2+(d-2)^2+c^2 = p^2+q^2+r^2[/math], а значит и четно [math]p+q+r[/math]. Здесь воспользовались фактом, что возведение в квадрат не меняет четности. Но поскольку [math]p,q,r[/math] - длины сторон четырехугольника, по условию простые числа, и большие 2, то их сумма нечетна. Противоречие. |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: Xenia1996 |
|||
swan |
|
||
Можно еще упростить:
Лемма: периметр четырехугольника с целыми сторонами и вершинами в целочисленных узлах - четен. [math]A(a_1,a_2) \quad B(b_1,b_2) \quad C(c_1,c_2) \quad D(d_1,d_2)[/math] [math]0=(a_1-b_1)+(a_2-b_2)+(c_1-b_1)+(c_2-b_2)+(d_1-c_1)+(d_2-c_2)+(d_1-a_1)+(d_2-a_2)\equiv[/math] [math]\equiv(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(c_1-b_1)^2+(c_2-b_2)^2+(d_1-c_1)^2+(d_2-c_2)^2+(d_1-a_1)^2+(d_2-a_2)^2\equiv l_1+l_2+l_3+l_4 \pmod 2[/math] И из этой леммы сразу следует, что только одна сторона не может быть четной. |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: Xenia1996 |
|||
Xenia1996 |
|
|
swan писал(а): Можно еще упростить: Лемма: периметр четырехугольника с целыми сторонами и вершинами в целочисленных узлах - четен. [math]A(a_1,a_2) \quad B(b_1,b_2) \quad C(c_1,c_2) \quad D(d_1,d_2)[/math] [math]0=(a_1-b_1)+(a_2-b_2)+(c_1-b_1)+(c_2-b_2)+(d_1-c_1)+(d_2-c_2)+(d_1-a_1)+(d_2-a_2)\equiv[/math] [math]\equiv(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(c_1-b_1)^2+(c_2-b_2)^2+(d_1-c_1)^2+(d_2-c_2)^2+(d_1-a_1)^2+(d_2-a_2)^2\equiv l_1+l_2+l_3+l_4 \pmod 2[/math] И из этой леммы сразу следует, что только одна сторона не может быть четной. Большое спасибо! |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Четырёхугольник
в форуме Геометрия |
5 |
463 |
13 ноя 2016, 21:50 |
|
Четырёхугольник
в форуме Геометрия |
1 |
356 |
03 окт 2015, 21:14 |
|
Четырехугольник
в форуме Геометрия |
4 |
175 |
15 фев 2021, 11:57 |
|
Четырехугольник
в форуме Геометрия |
4 |
413 |
06 июн 2015, 09:23 |
|
Четырехугольник
в форуме Геометрия |
11 |
863 |
13 апр 2015, 10:18 |
|
Четырехугольник
в форуме Геометрия |
1 |
349 |
06 апр 2015, 14:56 |
|
Выпуклый четырехугольник
в форуме Геометрия |
2 |
806 |
04 июл 2015, 06:28 |
|
Самопересекающийся четырехугольник
в форуме Геометрия |
19 |
1604 |
16 ноя 2016, 16:02 |
|
Четырехугольник и параллелограмм
в форуме Геометрия |
3 |
216 |
24 ноя 2021, 17:10 |
|
Занимательный четырехугольник
в форуме Геометрия |
6 |
249 |
07 май 2019, 12:19 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |