Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Мазманаческий четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2017, 10:57 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 12:42
Сообщений: 508
Cпасибо сказано: 486
Спасибо получено:
48 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Назовём четырёхугольник, изображённый на клетчатой бумаге (длину стороны клетки принять за 1), мазманаческим, если все его вершины лежат в узлах, а длины всех его сторон - попарно различные простые числа.

Какой наименьший периметр может иметь мазманаческий четырёхугольник?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мазманаческий четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2017, 13:25 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]A(0,0) \quad B(0,3) \quad C(11,3) \quad D(7,0)[/math]

[math]P_{ABCD}=26[/math]

Двойке сторона в таком четырехугольнике равняться не может.

Эскиз доказательства:

Если сторона равна 2, то идти она должна только параллельно оси.
Перенесем одну из вершин этой стороны в ноль, по другой пустим ось Y.
[math]A(0,0) \quad B(0,2)[/math]
Пусть координаты [math]D(a,b)[/math], [math]C(c,d)[/math]
[math]a^2+b^2=p^2[/math]
[math](a-c)^2+(b-d)^2=q^2[/math]
[math]c^2+(d-2)^2=r^2[/math]

Поскольку [math]a+b+(a-c)+(b-d)+(d-2)+c=2a+2b-2[/math] - четно, то также четно будет и [math]a^2+b^2+(a-c)^2+(b-d)^2+(d-2)^2+c^2 = p^2+q^2+r^2[/math], а значит и четно [math]p+q+r[/math].
Здесь воспользовались фактом, что возведение в квадрат не меняет четности.
Но поскольку [math]p,q,r[/math] - длины сторон четырехугольника, по условию простые числа, и большие 2, то их сумма нечетна. Противоречие.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Xenia1996
 Заголовок сообщения: Re: Мазманаческий четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2017, 14:19 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно еще упростить:

Лемма: периметр четырехугольника с целыми сторонами и вершинами в целочисленных узлах - четен.

[math]A(a_1,a_2) \quad B(b_1,b_2) \quad C(c_1,c_2) \quad D(d_1,d_2)[/math]

[math]0=(a_1-b_1)+(a_2-b_2)+(c_1-b_1)+(c_2-b_2)+(d_1-c_1)+(d_2-c_2)+(d_1-a_1)+(d_2-a_2)\equiv[/math]
[math]\equiv(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(c_1-b_1)^2+(c_2-b_2)^2+(d_1-c_1)^2+(d_2-c_2)^2+(d_1-a_1)^2+(d_2-a_2)^2\equiv l_1+l_2+l_3+l_4 \pmod 2[/math]

И из этой леммы сразу следует, что только одна сторона не может быть четной.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Xenia1996
 Заголовок сообщения: Re: Мазманаческий четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2017, 15:44 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 мар 2011, 12:42
Сообщений: 508
Cпасибо сказано: 486
Спасибо получено:
48 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Можно еще упростить:

Лемма: периметр четырехугольника с целыми сторонами и вершинами в целочисленных узлах - четен.

[math]A(a_1,a_2) \quad B(b_1,b_2) \quad C(c_1,c_2) \quad D(d_1,d_2)[/math]

[math]0=(a_1-b_1)+(a_2-b_2)+(c_1-b_1)+(c_2-b_2)+(d_1-c_1)+(d_2-c_2)+(d_1-a_1)+(d_2-a_2)\equiv[/math]
[math]\equiv(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(c_1-b_1)^2+(c_2-b_2)^2+(d_1-c_1)^2+(d_2-c_2)^2+(d_1-a_1)^2+(d_2-a_2)^2\equiv l_1+l_2+l_3+l_4 \pmod 2[/math]

И из этой леммы сразу следует, что только одна сторона не может быть четной.

Большое спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Четырёхугольник

в форуме Геометрия

sema_90

5

463

13 ноя 2016, 21:50

Четырёхугольник

в форуме Геометрия

Kristinadefa

1

356

03 окт 2015, 21:14

Четырехугольник

в форуме Геометрия

markmark2

4

175

15 фев 2021, 11:57

Четырехугольник

в форуме Геометрия

nicat

4

413

06 июн 2015, 09:23

Четырехугольник

в форуме Геометрия

nicat

11

863

13 апр 2015, 10:18

Четырехугольник

в форуме Геометрия

nicat

1

349

06 апр 2015, 14:56

Выпуклый четырехугольник

в форуме Геометрия

spins06

2

806

04 июл 2015, 06:28

Самопересекающийся четырехугольник

в форуме Геометрия

Race

19

1604

16 ноя 2016, 16:02

Четырехугольник и параллелограмм

в форуме Геометрия

Glotov1

3

216

24 ноя 2021, 17:10

Занимательный четырехугольник

в форуме Геометрия

Race

6

249

07 май 2019, 12:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved