Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Что Вы думаете об "о" малом?
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=57&t=55936
Страница 1 из 1

Автор:  Space [ 04 окт 2017, 18:19 ]
Заголовок сообщения:  Что Вы думаете об "о" малом?

В связи с одним моим спором, затрагивающим понятие "о" малого, я решил узнать, что думает по этому поводу общественность.

Автор:  Kirill1986 [ 04 окт 2017, 19:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Что Вы думаете об "о" малом?

В этот спор по воле случая вступил я. Дело в том, что с логической точки зрения запись [math]f\left( x \right)= o\left( x \right)[/math] не является приемлемой ввиду симметричности знака равенства, которое имеет место по определению, которое дается в мат. логике (см., например, Н. К. Верещагин, А. Шень "Языки и исчисления", §5.1. Аксиомы равенства) и бесконечного набора функций [math]f\left( x \right)[/math], удовлетворяющих такой записи: и [math]x^{2}=o\left( x \right)[/math], и [math]x^{3}=o\left( x \right)[/math] и т. д. и т. п. Я лишь хотел указать, что если это понятие и нуждается во введении в математику, то вводить его следует более аккуратно, чем это принято в учебниках. Space сам предложил хороший вариант: писать [math]f\left( x \right) \divideontimes o\left( x \right)[/math] вместо [math]f\left( x \right)= o\left( x \right)[/math]. Как мне кажется, такая запись, если, правда, сделать несколько оговорок, будет логически приемлемой, и такое положение вещей, по моему убеждению, было бы явно более удовлетворительным, чем оно есть сейчас. На мой взгляд, в математике еще много всякой всячины, которую нужно вводить более аккуратно, чем это сейчас принято. Бесконечно удаленная точка в учебниках по ТФКП, символы [math]o[/math] при ..., [math]O[/math] при ..., [math]\sim[/math] при ... в учебниках мат. анализа, определение матрицы как таблицы чисел (функций и т. п.) в учебниках по линейной алгебре тоже, прямо скажем, не наилучший выход из положения (сразу возникает вопрос, что такое "таблица"), определение вектора в геометрии как "направленного отрезка прямой" порождает вопрос о том, что такое "направленный", а уж о комбинаторных "определениях" я и вспоминать не хочу (их просто нет в существующей литературе (по крайне мере, на русском языке, иностранную я не читал)), и т. д. и т. п. Думайте сами, решайте сами...

Автор:  Space [ 04 окт 2017, 21:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Что Вы думаете об "о" малом?

Kirill1986,
Думаю, Вы излишне увлекаетесь строгостью изложения. Это к добру не приводит. Дело в том, что абсолютной строгости все равно достичь не представляется возможным (к счастью, и необходимым). Наибольшая строгость достигается формальными теориями, которыми, насколько мне известно, никто не пользуется на практике. Они изучаются самостоятельно. Математический анализ может быть строго формализован и все его объекты и теоремы представлены в виде не более чем конечных последовательностей символов. Это делается для доказательств непротиворечивости и прочих полезных вещей. Но это не нужно на практике.

Kirill1986 писал(а):
Дело в том, что с логической точки зрения запись [math]f\left( x \right)= o\left( x \right)[/math] не является приемлемой ввиду симметричности знака равенства, которое имеет место по определению, которое дается в мат. логике (см., например, Н. К. Верещагин, А. Шень "Языки и исчисления", §5.1. Аксиомы равенства)

Разве что с логической. Но этот символ не зарезервирован логикой. В различных разделах математики он понимается по-разному. Например, "[math]f(x) = o(x)[/math] при [math]x \to a[/math] ", пишется вместо " [math]\exists \varepsilon >0 \,\colon \forall x \in U_ \varepsilon (a) \setminus {a} \,\colon f(x) = \alpha (x) \cdot x[/math], где [math]\alpha (x)[/math] — некоторая бесконечно малая в точке [math]a[/math] функция", не более того. Здесь символ "[math]=[/math]" не обозначает равенство в обычном смысле, поэтому и противоречия быть не может. Забудьте о симметричности, подумайте о сокращении выкладок и экономии времени.

Автор:  Space [ 04 окт 2017, 21:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Что Вы думаете об "о" малом?

Kirill1986 писал(а):
Space сам предложил хороший вариант: писать [math]f\left( x \right) \divideontimes o\left( x \right)[/math] вместо [math]f\left( x \right)= o\left( x \right)[/math]. Как мне кажется, такая запись, если, правда, сделать несколько оговорок, будет логически приемлемой

Ну и почему же так необходима эта логическая приемлемость?

Автор:  Kirill1986 [ 04 окт 2017, 21:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Что Вы думаете об "о" малом?

Space, я Вам ответил уже все, что думаю по этому вопросу. Мы оба понимаем, о чем идет речь, а разногласия не столь существенны, как может казаться. Предлагаю закрыть эту тему. Удачи Вам!

Автор:  venjar [ 04 окт 2017, 22:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Что Вы думаете об "о" малом?

Kirill1986 писал(а):
В этот спор по воле случая вступил я. Дело в том, что с логической точки зрения запись [math]f\left( x \right)= o\left( x \right)[/math] не является приемлемой ввиду симметричности знака равенства, которое имеет место по определению, которое дается в мат. логике (см., например, Н. К. Верещагин, А. Шень "Языки и исчисления", §5.1. Аксиомы равенства) и бесконечного набора функций [math]f\left( x \right)[/math], удовлетворяющих такой записи: и [math]x^{2}=o\left( x \right)[/math], и [math]x^{3}=o\left( x \right)[/math] и т. д. и т. п. Я лишь хотел указать, что если это понятие и нуждается во введении в математику, то вводить его следует более аккуратно, чем это принято в учебниках. Space сам предложил хороший вариант: писать [math]f\left( x \right) \divideontimes o\left( x \right)[/math] вместо [math]f\left( x \right)= o\left( x \right)[/math]. ..


запись [math]f\left( x \right)= o\left( x \right)[/math] не вводит в заблуждение того, кто понимает, что по договоренности понимается под этой записью (что соответствующий предел соответствующего отношения функций равен 0). И здесь строгость полная.

Если так не договариваться, то, быть может, корректнее было бы писать [math]f\left( x \right) \in o\left( x \right)[/math], понимая под [math]o\left( x \right)[/math] класс функций, обладающих тем свойством, что .... .

Автор:  Ellipsoid [ 05 окт 2017, 19:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Что Вы думаете об "о" малом?

Space писал(а):
прочих полезных вещей


Кроме полноты. :(

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/