Математический форум Math Help Planet

Добрый день! Прочитал определение определителя, вроде бы понял что он в физическом смысле представляет площадь( в двумерном пространстве) или объем( в трехмерном), но все же его определение и нахождение звучит как некое магическое правило, суть которого непонятна. Есть ли хорошие книги или статьи, где подробно объясняется что же это за свойство, как пришли его открыли и пришли к нему? Честно сказать, после таких правил, вываливающихся на тебя без должного объяснения, желание изучать линейную алгебру пропадает. Это превращается не в постижение а в зубрение каких-то правил, что грустно. Заранее спасибо!

Уважаемый inetskin, модуль определителя [math]n[/math]-го порядка есть [math]n[/math]-мерный объем, натянутый на векторы, которые стоят в строках или столбцах определителя. Знак определителя по существу определяет одну из двух возможных ориентаций векторов: правую или левую. Главное же значение определителя - в его многочисленных приложениях. В алгебре Вы увидите, что именно в терминах определителей формулируются такие принципиально важные понятия, как линейно зависимые и линейно независимые системы векторов, через определители выражается общее решение совместной системы линейных уравнений (формулы Крамера), определитель, составленный из скалярных произведений [math]n[/math] векторов (определитель матрицы Грама), отличен от нуля тогда и только тогда, когда эта система линейно независима. В теории квадратичных форм определитель нужен для формулировки критерия знакоопределенности квадратичных форм. В математическом анализе есть полезное понятие якобиана системы функций. Оказывается, они независимы (это более общее понятие, чем понятие линейной зависимости) тогда и только тогда, когда их якобиан отличен от нуля. С помощью якобиана осуществляется замена переменных в [math]n[/math]-кратных интегралах. И т. д. и т. п. Мне кажется, что, возможно, Вам просто следует учиться дальше и со временем Вы убедитесь в полезности понятия определителя и интерес к математике и линейной алгебре в частности вернется. Удачи Вам!

Большое спасибо за объяснение! Буду учиться, к сожалению на лекциях или в интернете не дают того полного описания, которое хотелось бы получить. Сами математики, я думаю, шли от конкретики к обобщению. А нам преподают сразу обобщение, максимальную абстракцию, что не всегда хорошо.

Да, Вы правы. Еще могу добавить, что, возможно, Вам следует почитать учебники по аналитической геометрии. Например, простейшая задача о пересечении двух прямых на плоскости уже приводит к понятию определителя второго порядка, когда приходиться решать систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Задача о нахождении общей точки для трех плоскостей в трехмерном пространстве приводит к определителю третьего порядка; здесь нужно решить систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными. А потом Вы можете вообразить уже [math]n[/math]-мерное пространство и [math]n[/math]-мерные плоскости в нем, каждая из которых описывается линейным уравнением вида [math]\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}+b_{i}=0[/math]. Задача о точке пересечения [math]n[/math] [math]n[/math]-мерных плоскостей в [math]n[/math]-мерном пространстве приводит к системе из [math]n[/math] линейных уравнений с [math]n[/math] неизвестными, решение которой в случае совместности системы выражается формулами Крамера, в которых присутствуют определители [math]n[/math]-го порядка (в случае же несовместности определитель системы [math]n[/math]-го порядка равен нулю). Вот Вам и геометрический выход на понятие определителя [math]n[/math]-го порядка.