Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Точечная система координат
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=57&t=55775
Страница 1 из 22

Автор:  ivashenko [ 24 сен 2017, 10:33 ]
Заголовок сообщения:  Точечная система координат

Кому лень читать мои философствования, могут перейти сразу к решению задачи, которая выделена жирным шрифтом в конце темы.

Задумался над таким вот вопросом: для того, чтобы однозначно задать точку на плоскости, необходимо минимум 5 параметров: 1). 3 параметра системы координат: 0 и направление 2-х осей или 0, направление одной оси и направление отсчета угла. 2). И 2 параметра точки в данной системе координат: значение проекций на 2-е оси, если это декартова система координат или радиус и угол, если система координат полярная. В декартовойсистеме неизбежно могут возникать отрицательные числа, в полярной- координаты разнородны.

Можно считать, что 0, при задании СК задается направлениями 2-х осей в точке их пересечения, тогда остается лишь 4 параметра, которыми задается однозначно точка на плоскости вместе с системой координат. При этом мы должны уметь измерять угол и длину или же измерять длину, строить и восстанавливать проекции. Т.е. обладать какими-то навыками построения.

Теперь, положим, что мы не умеем восстанавливать и строить проекции, а также не умеем измерять и строить углы, но умеем строить окружности заданного радиуса из 3-х точек. И имеем на плоскости 3 базисных точки, не лежащие на одной прямой. Пересечение 3-х окружностей, проведенных из базисных точек, однозначно задает точку на плоскости. Т.е. точка задается 3-мя радиусами, а система координат - 3-мя произвольно выбранными точками или точка, вместе с системой координат, задается 6-ю параметрами. Но, здесь мы ограничиваемся только положительными числами и однородными координатами, в случае декартовых координат вынуждены использовать отрицательные числа, а в случае полярных - разнородные координаты, т.е. эти С.К. более ассиметричны в некотором смысле.

Теперь хотелось бы придумать, как можно выразить расстояние между 2-мя точками в такой точечной системе координат, пользуясь лишь 3-мя параметрами каждой точки, в этой С.К. Прошу высказывать идеи.

P.S. Аналогичную с.к., однозначно задающую точку, можно построить и в пространствах большей размерности, только точка будет задаваться пересечением сфер или гиперсфер, но сначала хотелось бы разобраться с плоскостью.

Уточню саму задачу. Пусть на плоскости заданы 3 базисные, не лежащие на одной прямой, точки: A,B,C расстояние между ними: AB=a,BC=b,CA=c. Пусть также заданы 2-е точки E и F, заданы они с помощью расстояний до базисных точек: E [AE,BE,CE], F[AF,BF,CF] - это своего рода координаты точек в данном базисе. Мы можем восстановить данные точки с помощью циркуля и линейки, находя их как пересечение окружностей соответствующих радиусов, проведенных из точек A,B,C. Теперь необходимо выразить расстояние между точками E,F, через известные параметры: a,b,c,AE,BE,CE,AF,BF,CF.

Автор:  ivashenko [ 24 сен 2017, 17:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точечная система координат

Ну где же Вы, гиганты геометрической мысли? )))

Формулы должны получиться вроде как симметричные и красивые, как многие здесь любят.

Автор:  ivashenko [ 24 сен 2017, 18:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точечная система координат

Чтобы было понятнее:

Изображение

Черные отрезки- базис, их длина известна, синие задают однозначно положение точки E, а зеленые - положение точки F на плоскости, их длина также известна. Необходимо найти длину красного отрезка, желательно не переходя к какой-либо другой системе координат.

Автор:  Race [ 24 сен 2017, 19:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точечная система координат

Самый простой вариант через теорему косинусов определить угол противолежащий EF после чего по ней же определить EF.

Автор:  ivashenko [ 24 сен 2017, 19:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точечная система координат

Race писал(а):
Самый простой вариант через теорему косинусов определить угол противолежащий EF после чего по ней же определить EF.
За рамки данного базиса не выходим, что такое угол - не знаем. Умеем пользоваться циркулем и линейкой, т.е. строить окружности заданного радиуса, видеть точки пересечения этих окружностей.

a,b,c,AE,BE,CE,AF,BF,CF, данные данные однозначно определяют положение 2-х точек в определяемом этими же данными базисе из 3-х точек и их должно быть достаточно, чтобы определить расстояние между 2-мя этими точками.

Автор:  Race [ 24 сен 2017, 19:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точечная система координат

что то я не понимаю, вы хотите выразить EF не используя тригонометрию?

Автор:  ivashenko [ 24 сен 2017, 19:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точечная система координат

Race писал(а):
что то я не понимаю, вы хотите выразить EF не используя тригонометрию?


можно сказать и так.

Автор:  Race [ 24 сен 2017, 19:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точечная система координат

кточните, что можно использовать, гелметрию 7 класса?

Автор:  ivashenko [ 24 сен 2017, 19:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точечная система координат

Race писал(а):
кточните, что можно использовать, гелметрию 7 класса?


Необходимо построить симметричные формулы, в состав которых входят все вышеприведенные данные, без использования тригонометрии, ну или по крайней мере тех приемов, которые приводят к несимметричности. Подозреваю, что это вся тригонометрия.

Автор:  ivashenko [ 24 сен 2017, 19:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точечная система координат

Обратите внимание на то, что любые 3 из 5-ти точек можно в принципе взять в качестве базиса и формулы должны иметь одинаковую структуру для всех случаев. Также точки E,F можно задать произвольно относительно базиса, от чего структура формул поменяться не должна.

Не исключено, что формулы могут получиться рекуррентными или вылезет еще какая-нибудь бяка.

Также следует обратить внимание на то, что точки в данном базисе задаются однозначно тремя положительными числами. Т.е. что такое отрицательные числа мы тоже не знаем.

Мы можем сравнивать длины заданных отрезков, устанавливая между ними отношения <,>,=

Страница 1 из 22 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/