Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 13 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ivashenko |
|
|
Зачем сидеть спокойно, если можно кусать себя за хвост? Значится так, не нравится мне существующая теория множеств и её вариации, хотя я пока ещё и не знаком с ней, но уже вижу множество её недостатков. И если уж и начинать что-то реконструировать, то начинать следует с самого главного, реконструировать мы собираемся теорию множеств, соответственно и начнём с понятия множество. Классическое множество- это набор элементов, не обладающих какими-либо свойствами и не имеющих структуры, т.е. такая серая и унылая субстанция, характеризуемая только мощностью, в общем ни о чем. Такой убогой конструкцией и описать можно лишь простейшие вещи, весьма далекие от красочной и многообразной реальности ))) Попробуем придумать что-нибудь поинтересней. Усложним наше классическое множество, добавив в него многоуровневую структуру: Т.е. допустим, что любой элемент множества сам может быть множеством, может, но не обязан. Теперь для начала представим себе предельно возможный случай, такое супер-пупер-гипер множество, состоящее из бесконечного числа элементов, каждый элемент в свою очередь также состоит из счетного множества элементов, которые в свою очередь также состоят......., ну, в общем Вы поняли, бесконечное количество бесконечных уровней вложенности. Здесь теперь нужно хорошенько помедитировать, чтобы понять о чем речь. Ну вот, наконец мы поняли что такое супер-гипер множество , значит всё остальное, как говорится: "как два пальца об асфальт", т.е. уровней вложенности и количество элементов на уровне может быть конечное число. Понять-то мы конечно всё поняли, но сказать ничего не можем. Значит, наверное, нужно придумать слова и объяснить всё по понятиям. Про уровни вложенности элементов уже упоминалось, удобно будет ввести это понятие как функцию: [math]MaxLew(M)[/math], возвращающую номер самого глубокого уровня вложенности в множестве [math]V[/math] и [math]MinLew(M)[/math] -возвращающую номер самого "мелкого" уровня вложенности. Если все элементы множества [math]M[/math] имеют одинаковое количество уровней вложенности, то очевидно [math]MaxLew(M) = MinLew(M)[/math]. Если мы рассматриваем множество [math]M[/math], то его элементы будем обозначать с помощью индексов, например запись: [math]M_{i,j,k,.....}[/math] будет означать, что мы обратились к i-ому элементу первого уровня, в нем перешли на второй уровень и обратились там к j-ому элементу, внутри которого уже на 3-м уровне вложенности множества [math]M[/math] обратились к k-му элементу, и т.д., пока не закончатся индексы. Таким образом, задавая индексы, мы можем занырнуть на любую глубину, т.е. на любой уровень вложенности и достичь любого элемента структуры. Также, можно рассматривать и глубину любого элемента множества, применяя к нему функцию: [math]MinLew(M_{i,j,.....})[/math] или [math]MaxLew(M_{i,j,.....})[/math] Теперь, прежде чем двигаться дальше, осознаем, что классическое множество - это описанное выше множество [math]M[/math], имеющее только один уровень вложенности, т.е. все элементы этого множества имеют нулевую глубину, а само множество имеет глубину 1. Это самый простой, частный случай в нашей будущей обобщенной теории. Далее будет показано, что математические операции взятия факториала и возведения числа в степень имеют естественную теоретико-множественную трактовку в данной теории при рассмотрении второго уровня вложенности. |
||
Вернуться к началу | ||
Gagarin |
|
|
ivashenko писал(а): не нравится мне существующая теория множеств, хотя я пока ещё и не знаком с ней, но уже вижу множество её недостатков. И если уж и начинать что-то реконструировать, то начинать следует с самого главного ivashenkoВаш пассаж просто восхитителен. Может быть, если уж и начинать что-то реконструировать, то начинать надо с самого главного - это самое что-то как следует изучить. Разве не так? Риман и Лобачевский прекрасно знали классическую евклидову геометрию. Планк и Эйнштейн прекрасно знали классическую физику Рассел, Гёдель и Цермело прекрасно знали наивную теорию множеств Кантора. А Вы, ivashenko, готовы предложить свои определения и обобщённую теорию множеств, хотя не знакомы с предметом, который собираетесь обобщать. Кстати, скажите уж сразу, Вы |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Gagarin "Спасибо" сказали: Andy |
||
3axap |
|
|
ivashenko
1. итерации радикала неотрицательного числа больше 1 стремится к 1 2. итерации радикала неотрицательного числа меньше 1 стремится к 1 3. итерации радикала числа 1 равно 1 4. итерации радикала числа 0 равно 0 |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю 3axap "Спасибо" сказали: ivashenko |
||
ivashenko |
|
|
Настала пора определить подмножество. Тут всё просто, если из множества на каком-то уровне удалить хотя бы один элемент, конечно вместе с его структурой, то это будет несобственным подмножеством, если ничего не удалять, то собственным подмножеством. Можно удалять элементы с одного уровня множества, таким образом можно получить множество всех подмножеств этого уровня.
Рассмотрим множество, обладающее структурой: [math][[a,b],[c,d],[e,f]][/math]. Его подмножествами на втором уровне будут: [[a,b],[c,d],[e,f]] [[a,b],[c,d],[e]] [[a,b],[c,d],[f]] [[a,],[c,d],[e,f]] [[b],[c,d],[e,f]] [[a,b],[c],[e,f]] [[a,b],[d],[e,f]] [[a],[c],[e,f]] [[a],[d],[e,f]] [[b],[c],[e,f]] [[b],[d],[e,f]] [[a],[c,d],[e]] [[a],[c,d],[f]] [[b],[c,d],[e]] [[b],[c,d],[f]] [[a,b],[c],[e]] [[a,b],[c],[f]] [[a,b],[d],[e]] [[a,b],[d],[f]] [[a],[c],[e]] [[a],[c],[f]] [[a],[d],[e]] [[a],[d],[f]] [[b],[c],[e]] [[b],[c],[f]] [[b],[d],[e]] [[b],[d],[f]] Итого получили [math]3^3=27[/math] подмножеств второго уровня. Последняя группа - не что иное как булеан классического множества из 3-х классических элементов, только вместо символов a,c,e необходимо поставить нули, которые в классической теории почему-то опускаются и откуда берется этот булеан становится там не очевидным. Если бы мы рассматривали множество со структурой вида:[math][[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]][/math], то количество его подмножеств, 3-го уровня, элементы которых имеют одно значение, было бы равно [math]3^3=27[/math], по аналогии с булеаном назовем его триллиан, а общее количество подмножеств этого уровня составило бы [math]4^3[/math]. Булеан связан с биномом Ньютона и биномиальными коэффициентами, а триллиан с триномиальными коэффициентами. Аналогично, n-лиан, который соответствует множеству, каждый элемент которого состоит из n элементов, является суммой коэффициентов n-номиального распределения, которое возникает при построении множества подмножеств второго уровня. Таким образом, операция возведения числа [math]n[/math] в степень [math]k[/math] соответствует построению множества подмножеств второго уровня для структурированного множества, состоящего из [math]k[/math] элементов, каждый их которых в свою очередь состоит из n-элементов. Теперь рассмотрим следующие множества и все их подмножества второго уровня, элементы которых состоят из одного элемента: [[0]] имеет одно такое подмножество, которое является собственным:[[0]]. [[0],[1]], также имеет одно, собственное, подмножество: [[0],[1]]. [[0],[1],[1,2]] имеет уже 2 подмножества: [[0],[1],[1]] и [[0],[1],[2]]. [[0],[1],[1,2],[1,2,3]] имеет уже 6 подмножеств, удовлетворяющих условию:[[0],[1],[1],[1]], [[0],[1],[1],[2]], [[0],[1],[1],[3]], [[0],[1],[2],[1]], [[0],[1],[2],[2]], [[0],[1],[2],[3]]. ..................................................................................................... равно N! Т.е. комбинаторный смысл перестановок можно трансформировать в теоретико-множественный смысл взятия подмножества определенного типа из множества [[0],[1],[1,2],[1,2,3],[1,2,3,4],.........] Казалось бы две различные математические операции, а сводятся к одному смыслу - взятию подмножеств на втором уровне множества, причем таких подмножеств, в которых каждый элемент состоит из одного элемента. Предполагается, что все математические операции, а также все числовые системы могут быть представлены в виде подмножеств супер-гипер множества, а также множества подмножеств этих подмножеств. Например натуральные числа могут быть построены как множество подмножеств множества:[[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9],[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9],[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9],..............]элементы которых состоят из одного элемента, т.е. образуемого взятием от каждого элемента по одному, где каждый элемент соответствует разряду десятичного числа. Аналогичным образом могут быть построены вещественные и p-адические числа. В рамках этого множества также можно построить комплексные числа, кватернионы и октавы, т.е. практически все числовые системы являются подмножествами данного множества, которое само является маленьким подмножеством в супер- гипер- множестве. Только если мы говорим о комплексных и гиперкомплексных числах, то цифра из каждого разряда может быть взята кратное число раз. И это всё лишь на втором уровне вложенности, а этих уровней - [math]\infty[/math], Конечно, многим может показаться, что кроме своего бреда я здесь ничего не описал. По сути так оно и есть, поэтому не воспринимайте всё близко к сердцу - это не логичная, формализованная теория, а всего-лишь рассуждения по поводу и без. И вообще, зачем кусать себя за хвост, если можно спокойно посидеть? P.S. Как же я теперь понимаю Кантора и как мне близки причины его сумасшествия))). |
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Сидеть спокойно нужно для того, чтобы не кусать себя за хвост, А кусать себя за хвост для того, чтобы не сидеть спокойно. Введем в наше множество M понятие мощности. Правда мощностей придется ввести две: [math]PowLew_n(M)[/math]- Мощность уровня [math]n[/math] в множестве [math]M[/math] и [math]Pow(M)[/math] - количество элементов на всех уровнях множества, такая генеральная мощность. Аргументами этих функций могут быть элементы любого уровня. Отмечу сразу, что мощность супер-гипермножества равна [math](((\infty^{\infty})^{\infty})^{\infty})^{....}.[/math] Теперь появляется широкое поле для исследований и классификации мощностей. В рамках данных представлений можно показать, что Мощность зависит от представления множества и в отрыве от представления говорить о ней нет смысла. Например множество целых неотрицательных чисел можно представить в виде двоичной, восьмеричной и десятичной систем счисления. Мощность каждого представления будет различной. Так, в двоичной системе эта мощность будет равна [math]2^{\infty}[/math], в восьмеричной - [math]8^{\infty}[/math], а в десятичной соответственно [math]10^{\infty}[/math]. Т.е. мощность можно выражать непосредственно через вид множества комбинаторными методами. Например бесконечная последовательность единиц, под которой как раз понимали множество натуральных чисел, имеет мощность [math]\infty[/math], а множество натуральных чисел, рассматриваемых как некое количество, а не номер, имеет мощность [math]\frac{\infty^2}{2}[/math]. Путаница здесь возникла из-за того, что под числом понимали только номер в множестве, за которым не стояло никакой структуры, хотя существовал и взгляд, согласно которому число выражает некоторое количество. Рассмотрение натуральных чисел, как структурированного множества позволяет совместит оба взгляда на натуральные числа: натуральное число - как его порядковый номер и натуральное число - как количество. Рассмотрим множество, состоящее из таких пронумерованных элементов: 0- [ ] 1-[1] 2-[1,1] 3-[1,1,1] 4-[1,1,1,1] 5-[1,1,1,1,1] 6-[1,1,1,1,1,1] 7-[1,1,1,1,1,1,1] .................. Здесь первый уровень вложенности - номера элементов, а второй уровень вложенности - количественная характеристика элемента. При придании теоретико-множественного смысла факториалу, выше, как раз использовался второй уровень вложенности данного множества и всё прекрасно получилось. Таким образом, оба подхода не противопоставляются, а совмещаются в таком представлении натуралльных чисел и это, я считаю уже не плохо. Если нужно что-то посчитать - пользуемся первым уровнем, если нужен факториал, работаем со вторым уровнем. Каждый из взглядов соответствует своему уровню вложенности. Необходимо посчитать степень натурального числа, пользуемся вторым уровнем вложенности и работаем с одним элементом из вышеприведенного множества: [math]3^6[/math] выражается как некоторое множество подмножеств такого множества:[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]. |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
ivashenko писал(а): Классическое множество- это набор элементов, не обладающих какими-либо свойствами и не имеющих структуры, т.е. такая серая и унылая субстанция, характеризуемая только мощностью, в общем ни о чем. Такой убогой конструкцией и описать можно лишь простейшие вещи, весьма далекие от красочной и многообразной реальности ))) Свойства математического объекта, называемого множеством, описываются в той или иной системе аксиом (см., например, здесь). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали: ivashenko |
||
Andy |
|
|
3axap
3axap писал(а): ivashenko 1. итерации радикала неотрицательного числа больше 1 стремится к 1 2. итерации радикала неотрицательного числа меньше 1 стремится к 1 3. итерации радикала числа 1 равно 1 4. итерации радикала числа 0 равно 0 Это Вы к чему? |
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
Да так, подумал себе, что это может быть подводным камнем...
Квадратный радикал множества чисел [math]x \in \mathbb{Z}[/math] имеет бесконечные вложенные подмножества бесконечно вложенных радикалов: [math]\infty \cdot \cdot \cdot \sqrt{ \cdot \cdot \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{x} } } }[/math] при [math]x = 0[/math] результат 0 при [math]0 < x < 1[/math] стремится к 1 при [math]x =1[/math] результат 1 при [math]x > 1[/math] стремится к 1 Подумал, что будут сложности во взаимосвязи результата с функциями возврата значений уровня вложенности. |
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
[math]x \in \mathbb{R}[/math] конечно же, а не [math]x \in \mathbb{Z}[/math], извиняюсь, перепутал.
|
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Пока о вещественных числах речи еще не идет, было наглядно продемонстрировано, что целочисленные функции: целая степень целого числа, факториал и произведение целых чисел, имеют единообразную трактовку в терминах теории множеств:
[math]n![/math]- это мощность множества всех подмножеств (определенного вида) структурированного множества: [math][[1],[1,2],[1,2,3],......,[1,2,3,....,n]][/math]. [math]n^m[/math]- это мощность множества всех подмножеств (определенного вида) структурированного множества, в котором m элементов первого уровня, каждый из элементов первого уровня в свою очередь состоит из n элементов второго уровня: [math][[1,2,3,...n],[1,2,3,...n],[1,2,3,...n],[1,2,3,...n],...........,[1,2,3,...n]][/math] [math]nm[/math]- это мощность множества всех подмножеств (определенного вида) структурированного множества: [[1,2,3,......,n][1,2,3,.....m]] Все эти целочисленные функции выражаются определением мощности множества подмножеств на втором уровне структурированных множеств. [math]m+n[/math]- это структурированное множество: [1,2,3,......,m,1,2,3,.....n] и сумма натуральных чисел, таким образом, выражается первым уровнем структурированного гипермножества. Предполагается, что все существующие функции имеют отображение на введенном гиперобобщенном множестве, а все числовые системы могут быть сведены к подмножествам этого множества, также вероятно на нем можно определить фрактальные структуры. Стандартная теория множеств возникает при рассмотрении только первого уровня структурированных множеств и является частным случаем данного обобщения. Уже при рассмотрении второго уровня возникает много интересных взаимосвязей теории множеств и целочисленных операций над натуральными числами. Оказывается, что сами эти операции можно сформулировать на языке теории множеств, причем весьма сходным образом. Получается, что данное гиперобобщенное множество содержит внутри себя как операнды, над которыми можно совершать операции, так и сами эти операции. Первое и второе сливаются в нем воедино и выражаются единообразно. Сама возможность проведения таких целочисленных операций в рамках данных представлений основана на предположении наличия определенной структуры у множеств. Прежде чем вводить какую-то аксиоматизацию, целесообразно осознать на интуитивном уровне, что такое гипермножество, хотя бы поверхностно исследовать какие-то его свойства, попытаться прощупать его со всех сторон, увидеть что-то новое, интересное и возможно полезное, попытаться увидеть взаимосвязи, оценить перспективы. Может кто-то придумает как в нем выражать более сложные функции и более сложные числовые системы или обнаружит еще-какие-то взаимосвязи и закономерности. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 13 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Логика в теории множеств | 9 |
434 |
10 мар 2016, 10:54 |
|
Аксиомы теории множеств
в форуме Размышления по поводу и без |
1 |
334 |
14 фев 2018, 13:40 |
|
Элементы теории множеств. | 21 |
800 |
13 янв 2017, 15:10 |
|
Вопрос по теории множеств | 3 |
431 |
29 июн 2014, 13:08 |
|
Основы теории множеств | 2 |
389 |
13 дек 2015, 03:55 |
|
Доказательство утверждений теории множеств | 3 |
306 |
23 фев 2022, 14:42 |
|
Интересное задание по теории множеств | 21 |
1059 |
28 июн 2014, 15:52 |
|
Элементы теории множеств. Задача | 2 |
337 |
22 май 2018, 21:16 |
|
Арифметические операции в теории множеств | 7 |
332 |
11 июл 2022, 02:11 |
|
Задача по теории множеств/логике | 7 |
1029 |
04 дек 2015, 20:52 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |