Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Точки в квадрате
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 02:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 сен 2017, 01:58
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день всем!

Мой учитель по математике мне дал несколько дней назад вот такую задачку:
В одном квадрате с длиной стороны 2017 лежат десять тысячь точек.
1. Докажи, что бывает один круг с диаметром 100, в котором лежат не менее 12 этих точек.
2. Докажи, что даже бывает один круг с диаметром 100, в котором лежат не менее 15 этих точек.

Только я как-то не понимаю эту задачу. Может ли кто-нибуть объяснить мне ее пожалуйста? Как я смогу это доказать? В задаче, на пример, ведь не написано, как расположены точки в квадрате.

Спасибо большое за ваши ответы!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точки в квадрате
СообщениеДобавлено: 18 сен 2017, 21:01 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 16:38
Сообщений: 1357
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 117
Спасибо получено:
78 раз в 77 сообщениях
Очков репутации: 10

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если круг лежит внутри квадрата (а он может лежать, так как диаметр круга менее длины стороны квадрата), а все 10000 точек лежат внутри круга, то точки лежат и в квадрате, что соответствует условию. Итак, в кругу лежат все 10000 точек, а это не менее 15 и точно уж не менее 12.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точки в квадрате
СообщениеДобавлено: 18 сен 2017, 21:33 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 792
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
138 раз в 128 сообщениях
Очков репутации: 25

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Strategia писал(а):
В задаче, на пример, ведь не написано, как расположены точки в квадрате.

Подразумевается, что при любом расположении точек найдётся такой круг.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точки в квадрате
СообщениеДобавлено: 18 сен 2017, 22:05 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3190
Cпасибо сказано: 55
Спасибо получено:
697 раз в 630 сообщениях
Очков репутации: 201

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а) например так.
Разобьем наш квадрат прямыми параллельными сторонам квадрата на [math]29 \times 29[/math] (всего 841) маленьких квадратиков.
Сторона маленького квадратика равна [math]\frac {2017}{29} \approx 69.55 < 50\sqrt 2 \approx 70.71[/math]
Таким образом этот маленький квадратик целиком помещается в круге диаметра [math]100[/math] (сторона вписанного квадрата в круг диаметра [math]100[/math] равна [math]50\sqrt 2[/math]).
Опишем вокруг каждого маленького квадратика круг. Эти 841 кругов диаметра 100 целиком покрывают исходный квадрат.
Если в каждом круге число точек не превышает 11, то точек всего не более [math]841\cdot 11 = 9251[/math]. Противоречие.

Понятно, что эта система покрытия квадрата далеко не оптимальна. Наши круги достаточно сильно пересекаются друг с другом. Для того, чтобы доказать пункт б) надо построить покрывающую систему из не более чем 714 кругов ([math]714\cdot 14=9996[/math]).
Подумайте над этим сами .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Booker48
 Заголовок сообщения: Re: Точки в квадрате
СообщениеДобавлено: 18 сен 2017, 23:41 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 16:38
Сообщений: 1357
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 117
Спасибо получено:
78 раз в 77 сообщениях
Очков репутации: 10

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
Подразумевается, что при любом расположении точек найдётся такой круг.

Счаз! Ни при любом. Если все точки расположены на концентрической окружности с немного большим радиусом, чем круг, и общий центр круга и окружности передвигаются одновременно, то как круг с окружающими его точками не передвигай внутри квадрата, а точки будут передвигаться вслед за кругом, и кругу ни одна точка никогда принадлежать не будет.
Условие надо составлять так, чтобы не было неоднозначностей. Например, не оговаривается, при каком расположении круга. Если передвигающийся внутри квадрата круг не должен выходить за периметр квадрата, то тоже не найдётся такого круга, так как точки будут рассредоточены в углах квадрата, вне досигаемости круга, так как прямой угол круг не перекроет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точки в квадрате
СообщениеДобавлено: 18 сен 2017, 23:58 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 792
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
138 раз в 128 сообщениях
Очков репутации: 25

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap
Вы условие прочитайте внимательно и не надо ничего выдумывать. Если точки расположены "на концентрической окружности с немного большим радиусом"(с), то ничто не мешает нам центр искомого круга поместить в одну из этих точек. И наверняка более 12, 15, а скорее всего и больше точек окажется внутри круга.

По моим прикидкам, можно так расположить 10000 точек внутри указанного квадрата, что НЕ НАЙДЁТСЯ круга радиусом 100, внутри которого окажется не менее 26 точек. Вероятно, можно уменьшить это количество, но я пока не знаю как.

А про 12 точек всё написал swan.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точки в квадрате
СообщениеДобавлено: 19 сен 2017, 00:46 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 16:38
Сообщений: 1357
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 117
Спасибо получено:
78 раз в 77 сообщениях
Очков репутации: 10

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
3axap
Если точки расположены "на концентрической окружности с немного большим радиусом"(с), то ничто не мешает нам центр искомого круга поместить в одну из этих точек.

Не можем поместить. Читайте внимательно: центр у окружности и у круга общий. Если двигаем внутри квадрата круг, то двигается и окружность, точки принадлежат квадрату и за границы квадрата сдвинуть не можем. Представьте динамическую анимационную картинку отскакивающего колеса от стенок квадрата: круг - диск колеса, окружность с точками - шина колеса.

ЗЫ
Условие этой задачи составлено отвратительно невнятно. Бывает круг, не бывает... Да бывает круг, в котором лежит одна точка квадрата, а бывает круг, в котором все 10000 точек. А бывает, что и ни одной. Итак: бывает от 0 до 10000.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точки в квадрате
СообщениеДобавлено: 19 сен 2017, 00:59 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 792
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
138 раз в 128 сообщениях
Очков репутации: 25

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
Читайте внимательно: центр у окружности и у круга общий...

Не выдумывайте.

Формулировка проста. Бывают разные внутри квадрата круги. Но ВСЕГДА (при любом размещении точек внутри квадрата) найдётся такой круг, в котором не менее 12 точек.


Последний раз редактировалось Booker48 19 сен 2017, 01:09, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точки в квадрате
СообщениеДобавлено: 19 сен 2017, 01:05 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 792
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
138 раз в 128 сообщениях
Очков репутации: 25

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
И, кстати, в формулировке ничего нет о том, что за границы квадрата искомый круг не может выступать. Иначе все 10000 точек можно просто разместить в одном углу квадрата на расстоянии 0.00000001 одна от другой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точки в квадрате
СообщениеДобавлено: 19 сен 2017, 01:17 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 16:38
Сообщений: 1357
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 117
Спасибо получено:
78 раз в 77 сообщениях
Очков репутации: 10

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48
Да вот именно, мне печально, что преподаватель не смог внятно сформулировать условие задачи. То, о чём вы имеете в виду, формулируется иначе, и то, с оговорками на случаи, которые я привёл в пример. Ну прочитайте внимательно издевательский вопрос: бывает один круг, в котором лежат не менее 12 точек.... Да бывает миллион миллиардов квинтиллионов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Октагон в квадрате

в форуме Геометрия

Abbas

7

359

05 окт 2012, 11:03

Клетки в квадрате

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

5

487

10 ноя 2012, 17:08

Дед Мороз в квадрате

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

chebo

36

644

06 янв 2017, 13:40

X в квадрате равно 1

в форуме Алгебра

NewSp

12

912

27 июл 2015, 19:07

Минусы и плюсы в квадрате

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

8

213

16 янв 2017, 02:38

Моноид на декартовом квадрате

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

BAIN

0

219

06 июн 2013, 13:08

Вычислить вычет тангенса в квадрате

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Samuil_Adam

3

398

04 фев 2014, 10:38

Все варианты расположения отрезков в квадрате

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

AikoYogurt

1

250

02 апр 2014, 18:55

Расстояние каждой точки от начала координат и от точки (5;0)

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Joshua

1

763

26 дек 2011, 16:13

Вычислить интеграл по отрезку от точки до точки

в форуме Интегральное исчисление

MurZ

8

463

03 ноя 2012, 21:51


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved