Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 18 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Strategia |
|
|
Мой учитель по математике мне дал несколько дней назад вот такую задачку: В одном квадрате с длиной стороны 2017 лежат десять тысячь точек. 1. Докажи, что бывает один круг с диаметром 100, в котором лежат не менее 12 этих точек. 2. Докажи, что даже бывает один круг с диаметром 100, в котором лежат не менее 15 этих точек. Только я как-то не понимаю эту задачу. Может ли кто-нибуть объяснить мне ее пожалуйста? Как я смогу это доказать? В задаче, на пример, ведь не написано, как расположены точки в квадрате. Спасибо большое за ваши ответы! |
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
Если круг лежит внутри квадрата (а он может лежать, так как диаметр круга менее длины стороны квадрата), а все 10000 точек лежат внутри круга, то точки лежат и в квадрате, что соответствует условию. Итак, в кругу лежат все 10000 точек, а это не менее 15 и точно уж не менее 12.
|
||
Вернуться к началу | ||
Booker48 |
|
|
Strategia писал(а): В задаче, на пример, ведь не написано, как расположены точки в квадрате. Подразумевается, что при любом расположении точек найдётся такой круг. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
а) например так.
Разобьем наш квадрат прямыми параллельными сторонам квадрата на [math]29 \times 29[/math] (всего 841) маленьких квадратиков. Сторона маленького квадратика равна [math]\frac {2017}{29} \approx 69.55 < 50\sqrt 2 \approx 70.71[/math] Таким образом этот маленький квадратик целиком помещается в круге диаметра [math]100[/math] (сторона вписанного квадрата в круг диаметра [math]100[/math] равна [math]50\sqrt 2[/math]). Опишем вокруг каждого маленького квадратика круг. Эти 841 кругов диаметра 100 целиком покрывают исходный квадрат. Если в каждом круге число точек не превышает 11, то точек всего не более [math]841\cdot 11 = 9251[/math]. Противоречие. Понятно, что эта система покрытия квадрата далеко не оптимальна. Наши круги достаточно сильно пересекаются друг с другом. Для того, чтобы доказать пункт б) надо построить покрывающую систему из не более чем 714 кругов ([math]714\cdot 14=9996[/math]). Подумайте над этим сами . |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: Booker48 |
||
3axap |
|
|
Booker48 писал(а): Подразумевается, что при любом расположении точек найдётся такой круг. Счаз! Ни при любом. Если все точки расположены на концентрической окружности с немного большим радиусом, чем круг, и общий центр круга и окружности передвигаются одновременно, то как круг с окружающими его точками не передвигай внутри квадрата, а точки будут передвигаться вслед за кругом, и кругу ни одна точка никогда принадлежать не будет. Условие надо составлять так, чтобы не было неоднозначностей. Например, не оговаривается, при каком расположении круга. Если передвигающийся внутри квадрата круг не должен выходить за периметр квадрата, то тоже не найдётся такого круга, так как точки будут рассредоточены в углах квадрата, вне досигаемости круга, так как прямой угол круг не перекроет. |
||
Вернуться к началу | ||
Booker48 |
|
|
3axap
Вы условие прочитайте внимательно и не надо ничего выдумывать. Если точки расположены "на концентрической окружности с немного большим радиусом"(с), то ничто не мешает нам центр искомого круга поместить в одну из этих точек. И наверняка более 12, 15, а скорее всего и больше точек окажется внутри круга. По моим прикидкам, можно так расположить 10000 точек внутри указанного квадрата, что НЕ НАЙДЁТСЯ круга радиусом 100, внутри которого окажется не менее 26 точек. Вероятно, можно уменьшить это количество, но я пока не знаю как. А про 12 точек всё написал swan. |
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
Booker48 писал(а): 3axap Если точки расположены "на концентрической окружности с немного большим радиусом"(с), то ничто не мешает нам центр искомого круга поместить в одну из этих точек. Не можем поместить. Читайте внимательно: центр у окружности и у круга общий. Если двигаем внутри квадрата круг, то двигается и окружность, точки принадлежат квадрату и за границы квадрата сдвинуть не можем. Представьте динамическую анимационную картинку отскакивающего колеса от стенок квадрата: круг - диск колеса, окружность с точками - шина колеса. ЗЫ Условие этой задачи составлено отвратительно невнятно. Бывает круг, не бывает... Да бывает круг, в котором лежит одна точка квадрата, а бывает круг, в котором все 10000 точек. А бывает, что и ни одной. Итак: бывает от 0 до 10000. |
||
Вернуться к началу | ||
Booker48 |
|
|
3axap писал(а): Читайте внимательно: центр у окружности и у круга общий... Не выдумывайте. Формулировка проста. Бывают разные внутри квадрата круги. Но ВСЕГДА (при любом размещении точек внутри квадрата) найдётся такой круг, в котором не менее 12 точек. Последний раз редактировалось Booker48 19 сен 2017, 00:09, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
Booker48 |
|
|
И, кстати, в формулировке ничего нет о том, что за границы квадрата искомый круг не может выступать. Иначе все 10000 точек можно просто разместить в одном углу квадрата на расстоянии 0.00000001 одна от другой.
|
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
Booker48
Да вот именно, мне печально, что преподаватель не смог внятно сформулировать условие задачи. То, о чём вы имеете в виду, формулируется иначе, и то, с оговорками на случаи, которые я привёл в пример. Ну прочитайте внимательно издевательский вопрос: бывает один круг, в котором лежат не менее 12 точек.... Да бывает миллион миллиардов квинтиллионов. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 18 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Верблюд в квадрате
в форуме Размышления по поводу и без |
46 |
1313 |
21 фев 2019, 07:40 |
|
X в квадрате равно 1
в форуме Алгебра |
12 |
2343 |
27 июл 2015, 18:07 |
|
5 окружностей в квадрате
в форуме Геометрия |
7 |
308 |
26 мар 2020, 22:48 |
|
Делимость на 4 в квадрате
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
16 |
454 |
29 ноя 2020, 17:34 |
|
Дед Мороз в квадрате | 36 |
1540 |
06 янв 2017, 12:40 |
|
Минусы и плюсы в квадрате | 8 |
506 |
16 янв 2017, 01:38 |
|
Две четвертьокружности и окружность в квадрате
в форуме Геометрия |
8 |
196 |
17 июн 2020, 02:13 |
|
Верблюд в квадрате. Часть 2
в форуме Размышления по поводу и без |
3 |
244 |
06 мар 2019, 18:24 |
|
Минимальное кол-во цветов в квадрате 6х6
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
2 |
118 |
19 июл 2023, 15:10 |
|
Все варианты расположения отрезков в квадрате
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
1 |
398 |
02 апр 2014, 17:55 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |