Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 562 ]  На страницу Пред.  1 ... 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44 ... 57  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 17 июл 2018, 08:40 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
493 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решим полученное уравнение:

[math]bx-a\sqrt{c^{2}-x^{2}}-c\sqrt{a^{2}+b^{2}}=0[/math]

с помощью Wolframalpha это сделать быстрее www.wolframalpha_решение

Итак, выбираем корень, который подходит для координаты чертежа:

[math]x=\sqrt{\frac{ bc }{ \sqrt{a^{2}+b^{2}} } }[/math]

Найдём вторую координату:

[math]y=\sqrt{c^{2}-x^{2}}=\sqrt{c^{2}-\frac{ bc }{ \sqrt{a^{2}+b^{2}}}}[/math]

Длину отрезка [math]CA[/math] найдём с помощью координат:

[math]\left| CA \right|=\sqrt{(x-(-a))^{2}+(y-(-b))^{2}} = \sqrt{(x+a)^{2}+(y+b)^{2}}[/math], где [math]x,y \notin \mathbb{N}[/math]

[math]\left| CA \right|=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{ bc }{ \sqrt{a^{2}+b^{2}} } }+a\right)^{2}+\left(\sqrt{c^{2}-\frac{ bc }{ \sqrt{a^{2}+b^{2}}}}+b\right)^{2}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 19 июл 2018, 12:36 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
493 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Аналогичным образом, по чертежу представим две другие половины развёртки данного кубоида Эйлера для двух других лицевых диагоналей, и вычислим соответствующие координаты для отрезков: [math]\left| C_{1}A_{1} \right|[/math] и [math]\left| C_{2}A_{2} \right|[/math].

[math]x_{1}=\sqrt{\frac{ ab }{ \sqrt{a^{2}+c^{2}} }}[/math]

[math]x_{2}=\sqrt{\frac{ ac }{ \sqrt{b^{2}+c^{2}} }}[/math]

Теперь представим, что мы в пространстве расположили эти три развёртки так, что отрезки [math]\left| CA \right| ,\left| C_{1}A_{1} \right| ,\left| C_{2}A_{2} \right|[/math] совпали, то есть, совпадут их концы, так как все три отрезка равны пространственной диагонали. Тогда получается:

[math]x=x_{1}=x_{2}[/math] и [math]y=y_{1}=y_{2}[/math]

Тогда справедливо равенство:

[math]\frac{ bc }{ \sqrt{a^{2}+b^{2}} }=\frac{ ab }{ \sqrt{a^{2}+c^{2}} }=\frac{ ac }{ \sqrt{b^{2}+c^{2}} }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 19 июл 2018, 14:03 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
493 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Предыдущее равенство не верное, исправил:
[math]\left| CA \right| =\left| C_{1}A_{1} \right| =\left| C_{2}A_{2} \right|[/math]

[math]\sqrt{\left(\sqrt{\frac{ bc }{ \sqrt{a^{2}+b^{2}} } }+a\right)^{2}+\left(\sqrt{c^{2}-\frac{ bc }{ \sqrt{a^{2}+b^{2}}}}+b\right)^{2}}=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{ ab }{ \sqrt{a^{2}+c^{2}} } }+c\right)^{2}+\left(\sqrt{b^{2}-\frac{ ab }{ \sqrt{a^{2}+c^{2}}}}+a\right)^{2}}=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{ bc }{ \sqrt{b^{2}+c^{2}} } }+b\right)^{2}+\left(\sqrt{a^{2}-\frac{ bc }{ \sqrt{b^{2}+c^{2}}}}+c\right)^{2}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 21 июл 2018, 00:57 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
493 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На http://www.rechenkraft.net/forum я предложил такой вот тест на инвариантность.
Составим квадрат:

[math](a^{2}+b^{2})+c^{2}[/math]

[math](c^{2}+a^{2})+b^{2}[/math]

[math](b^{2}+c^{2})+a^{2}[/math]

В данном квадрате можно выделить вертикальные ряды и горизонтальные строки, в которых чередуются по три переменные: [math]a,b,c[/math] Так же одна из диагоналей этого квадрата содержит эти три переменные: [math]b,a,c[/math], но вторая диагональ состоит только из трёх одноимённых переменных: [math]a,a,a[/math]

Пусть: [math]a[/math] - нечётное, [math]b[/math] - чётное, [math]c[/math] - чётное, тогда квадрат принимает вид:

(неч+чет)+чет
(чет+неч)+чет
(чет+чет)+неч

При нахождении длины пространственной диагонали в кубоиде Эйлера, под корнем имеем целое значение, но результат извлечения иррациональный.
Может у кого ещё какие мысли по этому поводу?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 28 июл 2018, 03:35 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
493 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Проверяйте:

пусть [math]a,b,c,g \in \mathbb{N}[/math]

[math]d^{2}=a^{2}+b^{2}[/math]

[math]e^{2}=a^{2}+c^{2}[/math]

[math]f^{2}=b^{2}+c^{2}[/math]

[math]g=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}[/math]

[math]g=\sqrt{a^{2}+f^{2}}[/math], где: [math]a \perp f[/math]

[math]g=\sqrt{b^{2}+e^{2}}[/math], где: [math]b \perp e[/math]

[math]g=\sqrt{c^{2}+d^{2}}[/math], где: [math]c \perp d[/math]

[math]g=\sqrt{\frac{ d^{2}+e^{2}+f^{2} }{ 2 } }[/math]

[math]g=\sqrt{\frac{ d^{2}}{ 2 }+\frac{ e^{2}+f^{2} }{ 2 } }[/math], где: [math]\frac{ d }{ \sqrt{2} }\perp \frac{\sqrt{e^{2}+f^{2}} }{ \sqrt{2}}[/math]

[math]g=\sqrt{\frac{ e^{2}}{ 2 }+\frac{ d^{2}+f^{2} }{ 2 } }[/math], где: [math]\frac{ e }{ \sqrt{2} }\perp \frac{\sqrt{d^{2}+f^{2}} }{ \sqrt{2}}[/math]

[math]g=\sqrt{\frac{ f^{2}}{ 2 }+\frac{ e^{2}+d^{2} }{ 2 } }[/math], где: [math]\frac{ f }{ \sqrt{2} }\perp \frac{\sqrt{e^{2}+d^{2}} }{ \sqrt{2}}[/math]

если [math]d,e,f \in \mathbb{N}[/math], тогда:

[math]e \perp f[/math], [math]d \perp f[/math] и [math]e \perp d[/math],

но такое не возможно, так как доказывается, что между боковыми диагоналями острые углы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 28 июл 2018, 08:51 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap
Пожалуйста, не отправляйте несколько сообщений подряд в одной теме.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 28 июл 2018, 23:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap, вроде все безупречно. Но как доказывается отсутствие перпендикулярности?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 31 июл 2018, 23:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
493 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
А это уже намного проще.
Рассмотрим условно изображённый на рисунке кубоид [math]ABCDA'B'C'D'[/math]:

Изображение

Выборочно возьмём любые его две боковые диагонали, например: [math]\left| AC \right|[/math] и [math]\left| AD' \right|[/math] докажем, что они всегда образуют острый угол.

Доказательство.
Так как [math]\left| AA' \right| \perp \left| AB \right|[/math] и [math]\left| AA' \right| \perp \left| AD \right|[/math], то прямая [math]AA'[/math] перпендикулярна плоскости, проходящей через прямые [math]AB[/math] и [math]AD[/math],
следовательно прямая [math]AA'[/math] перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости, в частности, она перпендикулярна прямой, содержащей отрезок [math]\left| AC \right|[/math]. Таким образом: [math]\left| AA' \right| \perp \left| AC \right|[/math].
Прямая [math]AD'[/math] лежит в той же плоскости, что и прямая [math]AA'[/math] и также отрезок [math]\left| AD' \right|[/math], принадлежащий этой прямой, расположен между отрезками [math]\left| AC \right|[/math] и [math]\left| AA' \right|[/math], образующих прямой угол. Следовательно, угол между боковыми диагоналями [math]\left| AC \right|[/math] и [math]\left| AD' \right|[/math] менее [math]90^{\circ}[/math], то есть, острый. Аналогично можно рассмотреть любые две боковые диагонали кубоида. Ч.т.д.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 11 сен 2018, 18:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
493 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
От противного предположим, совершенный кубоид [math]a,b,c[/math] существует:

[math]a^{2}+b^{2}=d^{2}[/math], где [math]d \in \mathbb{N}[/math] (1)

[math]a^{2}+c^{2}=e^{2}[/math], где [math]e \in \mathbb{N}[/math] (2)

[math]b^{2}+c^{2}=f^{2}[/math], где [math]f \in \mathbb{N}[/math] (3)

[math]a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}[/math], где [math]g \in \mathbb{N}[/math] (4)

Запишем (1), (2), (4) в систему:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& a^{2}+b^{2}=d^{2} \\
& a^{2}+c^{2}=e^{2} \\
& a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}
\end{aligned}\right.[/math]


Выразим диагонали [math]g[/math] и [math]e[/math] через диагональ [math]d[/math]:

[math]g=\sqrt{d^{2}+c^2}[/math] (5)

[math]e=\sqrt{d^{2}+(c^2-b^2)}[/math] (6)

Из (6) видно, что разность [math](c^2-b^2)[/math] должна являться квадратом целого числа, пусть это будет [math]x[/math]: [math](c^2-b^2)=x^2[/math], тогда (6) принимает вид: [math]e=\sqrt{d^{2}+x^2}[/math], где [math]x \in \mathbb{N}[/math].
С другой стороны, из (3) следует, что квадратом целого числа является также и сумма: [math](c^{2}+b^{2})=f^{2}[/math]. Такого быть не может, так как в результате перемножения получим: [math]x^2f^2=c^4-b^4[/math], или: [math]y^2=c^4-b^4[/math], где: [math]y,b,c \in \mathbb{N}[/math]

PS
Почему такого быть не может:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& c^{2}-b^{2}=x^{2} \\
& c^{2}+b^{2}=f^{2}
\end{aligned}\right.[/math]


[math]x^{2}=f^{2}-2b^{2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 12 сен 2018, 18:54 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 июл 2016, 23:44
Сообщений: 1038
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
29 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap
Цитата:
Из (6) видно, что разность [math](c^2-b^2)[/math] должна являться квадратом целого числа


Не должна.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.    На страницу Пред.  1 ... 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44 ... 57  След.  Страница 41 из 57 [ Сообщений: 562 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Совершенный кубоид. Отладка

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

3axap

86

1289

15 апр 2022, 00:40

Существует ли совершенный параллелепипед?

в форуме Палата №6

ivashenko

1

15604

27 май 2019, 22:48

Рациональный кубоид

в форуме Размышления по поводу и без

3axap

116

33775

16 мар 2018, 01:22

Гнем кубоид

в форуме Палата №6

ivashenko

0

9410

27 май 2019, 22:41

Кубоид. Ностальгия

в форуме Геометрия

FEBUS

39

1301

07 июн 2020, 17:44

Однопарам ф-ла для ТП и кубоид Эйлера

в форуме Дискуссионные математические проблемы

3axap

29

581

07 июл 2022, 00:36


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved