Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 40 из 57 |
[ Сообщений: 562 ] | На страницу Пред. 1 ... 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43 ... 57 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
3axap |
|
|
Да, это вы абсолютно заметили: я и есть [math]3axap[/math]. Ещё, вы не могли не заметить, что при данном [math]x^2 \in \mathbb{N}[/math] я, как раз, по остатку определяю, какому множеству принадлежит [math]x[/math]. А вот с этим вы согласны? viewtopic.php?p=329283#p329283 |
||
Вернуться к началу | ||
Booker48 |
|
|
С чем согласен? С бессмысленным гонянием слева направо и по кругу назад тривиальных тождеств? Нет.
|
||
Вернуться к началу | ||
BoxMuller |
|
|
..ой. А слово "|цензура|" можно писать?
|
||
Вернуться к началу | ||
BoxMuller |
|
|
3axap
|
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
Booker48 писал(а): сумма последовательных [math]n[/math] нечётных чисел, начиная с [math]1[/math], есть [math]n^2[/math]. Доказывается не помню в каком классе, когда проходится метод математической индукции, вторая по счёту задачка после нахождения суммы [math]n[/math] последовательных натуральных.. Тогда постараюсь объяснить таким образом, чтобы Вам было привычнее: [math]a^{2}=\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)[/math] (1) [math]b^{2}=\sum\limits_{i=1}^{b}(2i-1)[/math] (2) [math]c^{2}=\sum\limits_{i=1}^{c}(2i-1)[/math] (3) при [math]d,e,f \in \mathbb{N}[/math]: [math]d^{2}=a^{2}+b^{2}=2a^2+(b^{2}-a^{2})=2\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{b}(2j-1)=\sum\limits_{l=1}^{d}(2l-1)[/math], отсюда: так как [math]\sum\limits_{j=a+1}^{b}(2j-1)=\sum\limits_{k=w_{1}}^{x_{1}}(2k-1)[/math], то [math]2\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)=\sum\limits_{k=y_{1}}^{z_{1}}(2k-1)[/math] (4) [math]e^{2}=a^{2}+c^{2}=2a^2+(c^{2}-a^{2})=2\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{c}(2j-1)=\sum\limits_{l=1}^{e}(2l-1)[/math], отсюда: так как [math]\sum\limits_{j=a+1}^{c}(2j-1)=\sum\limits_{k=w_{2}}^{x_{2}}(2k-1)[/math], то [math]2\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)=\sum\limits_{k=y_{1}}^{z_{1}}(2k-1)[/math] (5) [math]f^{2}=b^{2}+c^{2}=2a^2+(b^{2}-a^{2})+(c^{2}-a^{2})=2\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{b}(2j-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{c}(2j-1)=\sum\limits_{l=1}^{f}(2l-1)[/math], отсюда: так как [math]2\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)=\sum\limits_{k=y_{1}}^{z_{1}}(2k-1)[/math], то [math]\sum\limits_{j=a+1}^{b}(2j-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{c}(2j-1)=\sum\limits_{k=w_{3}}^{x_{3}}(2k-1)[/math] (6) при [math]g \in \mathbb{N}[/math]: [math]g^{2}=a^2+b^{2}+c^{2}=3a^2+(b^{2}-a^{2})+(c^{2}-a^{2})=3\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{b}(2j-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{c}(2j-1)=\sum\limits_{l=1}^{g}(2l-1)[/math], отсюда: так как [math]\sum\limits_{j=a+1}^{b}(2j-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{c}(2j-1)=\sum\limits_{k=w_{3}}^{x_{3}}(2k-1)[/math], то [math]3\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)=\sum\limits_{k=y_{2}}^{z_{2}}(2k-1)[/math](7) Вывод. имеем следующее: [math]\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)[/math] - прогрессия нечётных (1) [math]2\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)[/math] - прогрессия нечётных (4),(5) [math]3\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)[/math] - также прогрессия нечётных (7) при [math]g \in \mathbb{N}[/math] Надеюсь, что меня поймете... Последний раз редактировалось 3axap 27 май 2018, 03:03, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
То есть, так как:
[math]2\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{b}(2j-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{c}(2j-1)=\sum\limits_{l=1}^{f}(2l-1)[/math], то: [math]3\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{b}(2j-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{c}(2j-1) \ne \sum\limits_{l=1}^{g}(2l-1)[/math], отсюда [math]g \notin \mathbb{N}[/math] Проще говоря: [math]2a^{2}+(b^{2}-a^{2})+(c^{2}-a^{2})=f^{2}[/math] [math]3a^{2}+(b^{2}-a^{2})+(c^{2}-a^{2})=g^{2}[/math] [math]a^{2}[/math] - прогрессия нечётных [math](b^{2}-a^{2})[/math] - прогрессия нечётных [math](c^{2}-a^{2})[/math] - прогрессия нечётных при [math]f,g \in \mathbb{N}[/math] [math]2a^{2}[/math] и [math]3a^{2}[/math] (две и три одинаковые прогрессии нечётных) совместно с одной и той же суммой двух нечётных прогрессий должны давать нечётные прогрессии в обоих случаях, если существует совершенный кубоид. |
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
Итак!
[math]d^{2}=a^{2}+b^{2}[/math] [math]e^{2}=a^{2}+c^{2}[/math] [math]f^{2}=b^{2}+c^{2}[/math] [math]g^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}[/math] 3axap писал(а): [math]2a^{2}+(b^{2}-a^{2})+(c^{2}-a^{2})=f^{2}[/math] [math]3a^{2}+(b^{2}-a^{2})+(c^{2}-a^{2})=g^{2}[/math] Пусть: [math](b^{2}-a^{2})+(c^{2}-a^{2})=x[/math], тогда: [math]\left\{\!\begin{aligned} & 2a^{2}+x=f^{2} \\ & 3a^{2}+x=g^{2} \end{aligned}\right.[/math] Следовательно: [math]gf=\sqrt{(2a^{2}+x)(3a^{2}+x)}[/math] - подкоренное выражение не является квадратом числа, отсюда: [math]gf \notin \mathbb{N}[/math] так как по условию [math]f \in \mathbb{N}[/math], то [math]g \notin \mathbb{N}[/math] Доказал! Всё намного проще! |
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
Небольшое дополнение к предыдущему сообщению:
[math]\left\{\!\begin{aligned} & gf=\sqrt{(3a^{2}+x)(2a^{2}+x)} \\ & de=\sqrt{(3a^{2}+(x-c^2))(3a^{2}+(x-b^2))} \end{aligned}\right.[/math] Здесь хорошо видно, что по крайней мере одно из двух этих подкоренных выражений не является квадратом. [math]\frac{ gf }{ de }=\sqrt{\frac{ (3a^{2}+x)(2a^{2}+x) }{ (3a^{2}+(x-c^2))(3a^{2}+(x-b^2)) } }[/math] [math]\frac{ gf }{ de } \notin \mathbb{N}[/math] Wolframalpha |
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
Верно ли я здесь показал геометрически невозможность существования совершенного кубоида?
На рисунке жёлтым цветом условно изображена половина развертки кубоида Эйлера abc. Покажем, что длина пространственной диагонали в кубоиде Эйлера не будет являться целым числом. Итак: [math]OB=OC[/math], [math]OB \perp OC[/math] Запишем координаты точек: [math]O(0;0)[/math] [math]C(-a;-b)[/math] [math]B(b;-a)[/math] Обозначенные отрезки соответственно имеют длины: [math]\left| OA \right|=c[/math] [math]\left| OB \right| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}[/math] [math]\left| CA \right| = \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^2}[/math] равна пространственной диагонали [math]\left| AB \right| =\sqrt{a^{2}+b^{2}}-c[/math] Найдём длину отрезков через координаты: [math]\left\{\!\begin{aligned} & \left| AB \right|=\sqrt{(b-x)^{2}+(-a-y)^{2}} \\ & \left| OA \right|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \end{aligned}\right.[/math] После подстановки получаем следующую систему уравнений: [math]\left\{\!\begin{aligned} & \sqrt{(b-x)^{2}+(-a-y)^{2}} =\sqrt{a^{2}+b^{2}}-c \\ & \sqrt{x^{2}+y^{2}=c} \end{aligned}\right.[/math] Упрощаем: [math]\left\{\!\begin{aligned} & x^{2}-2xb+y^{2}+2ay=c^{2}-2c\sqrt{a^{2}+b^{2}} \\ & y=\sqrt{c^{2}-x^{2}} \end{aligned}\right.[/math] После подстановки значения вместо переменной [math]y[/math] получаем уравнение: [math]bx-a\sqrt{c^{2}-x^{2}}-c\sqrt{a^{2}+b^{2}}=0[/math] Отсюда координата [math]x[/math] точки [math]A[/math], являющейся концом отрезка [math]CA[/math] не имеет решений в целых числах для кубоида Эйлера. Соответственно, после подстановки, координата [math]y[/math] также не имеет целых решений, то есть: [math]x,y \notin \mathbb{N}[/math]. Так как точка [math]C(-a;-b)[/math], являющаяся концом того же отрезка [math]CA[/math] имеет целые координаты, то длина отрезка [math]CA[/math], а, следовательно, и длина равной ему пространственной диагонали данного кубоида Эйлера не может быть выражена целым числом. |
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
Пропустил задание координат для точки [math]A(x;y)[/math], но я думаю, что это из решения как раз понятно.
Меня интересует: справедливый вывод я здесь сделал, или нет? |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу Пред. 1 ... 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43 ... 57 След. | [ Сообщений: 562 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Совершенный кубоид. Отладка | 86 |
1289 |
15 апр 2022, 00:40 |
|
Существует ли совершенный параллелепипед?
в форуме Палата №6 |
1 |
15604 |
27 май 2019, 22:48 |
|
Рациональный кубоид
в форуме Размышления по поводу и без |
116 |
33775 |
16 мар 2018, 01:22 |
|
Гнем кубоид
в форуме Палата №6 |
0 |
9410 |
27 май 2019, 22:41 |
|
Кубоид. Ностальгия
в форуме Геометрия |
39 |
1301 |
07 июн 2020, 17:44 |
|
Однопарам ф-ла для ТП и кубоид Эйлера | 29 |
581 |
07 июл 2022, 00:36 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |