Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 562 ]  На страницу Пред.  1 ... 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43 ... 57  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 16 апр 2018, 00:45 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6753
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 991
Спасибо получено:
491 раз в 460 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48
Да, это вы абсолютно заметили: я и есть [math]3axap[/math]. Ещё, вы не могли не заметить, что при данном [math]x^2 \in \mathbb{N}[/math] я, как раз, по остатку определяю, какому множеству принадлежит [math]x[/math].
А вот с этим вы согласны?
viewtopic.php?p=329283#p329283

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 16 апр 2018, 01:19 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5207
Cпасибо сказано: 340
Спасибо получено:
923 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
С чем согласен? С бессмысленным гонянием слева направо и по кругу назад тривиальных тождеств? Нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 19 апр 2018, 02:44 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 июл 2016, 23:44
Сообщений: 1038
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
29 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
..ой. А слово "|цензура|" можно писать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 19 апр 2018, 02:48 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 июл 2016, 23:44
Сообщений: 1038
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
29 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 27 май 2018, 02:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6753
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 991
Спасибо получено:
491 раз в 460 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
сумма последовательных [math]n[/math] нечётных чисел, начиная с [math]1[/math], есть [math]n^2[/math]. Доказывается не помню в каком классе, когда проходится метод математической индукции, вторая по счёту задачка после нахождения суммы [math]n[/math] последовательных натуральных..

Тогда постараюсь объяснить таким образом, чтобы Вам было привычнее:

[math]a^{2}=\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)[/math] (1)

[math]b^{2}=\sum\limits_{i=1}^{b}(2i-1)[/math] (2)

[math]c^{2}=\sum\limits_{i=1}^{c}(2i-1)[/math] (3)

при [math]d,e,f \in \mathbb{N}[/math]:

[math]d^{2}=a^{2}+b^{2}=2a^2+(b^{2}-a^{2})=2\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{b}(2j-1)=\sum\limits_{l=1}^{d}(2l-1)[/math], отсюда:

так как [math]\sum\limits_{j=a+1}^{b}(2j-1)=\sum\limits_{k=w_{1}}^{x_{1}}(2k-1)[/math], то

[math]2\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)=\sum\limits_{k=y_{1}}^{z_{1}}(2k-1)[/math] (4)

[math]e^{2}=a^{2}+c^{2}=2a^2+(c^{2}-a^{2})=2\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{c}(2j-1)=\sum\limits_{l=1}^{e}(2l-1)[/math], отсюда:

так как [math]\sum\limits_{j=a+1}^{c}(2j-1)=\sum\limits_{k=w_{2}}^{x_{2}}(2k-1)[/math], то

[math]2\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)=\sum\limits_{k=y_{1}}^{z_{1}}(2k-1)[/math] (5)

[math]f^{2}=b^{2}+c^{2}=2a^2+(b^{2}-a^{2})+(c^{2}-a^{2})=2\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{b}(2j-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{c}(2j-1)=\sum\limits_{l=1}^{f}(2l-1)[/math], отсюда:

так как [math]2\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)=\sum\limits_{k=y_{1}}^{z_{1}}(2k-1)[/math], то

[math]\sum\limits_{j=a+1}^{b}(2j-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{c}(2j-1)=\sum\limits_{k=w_{3}}^{x_{3}}(2k-1)[/math] (6)

при [math]g \in \mathbb{N}[/math]:

[math]g^{2}=a^2+b^{2}+c^{2}=3a^2+(b^{2}-a^{2})+(c^{2}-a^{2})=3\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{b}(2j-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{c}(2j-1)=\sum\limits_{l=1}^{g}(2l-1)[/math], отсюда:

так как [math]\sum\limits_{j=a+1}^{b}(2j-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{c}(2j-1)=\sum\limits_{k=w_{3}}^{x_{3}}(2k-1)[/math], то

[math]3\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)=\sum\limits_{k=y_{2}}^{z_{2}}(2k-1)[/math](7)

Вывод.
имеем следующее:

[math]\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)[/math] - прогрессия нечётных (1)

[math]2\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)[/math] - прогрессия нечётных (4),(5)

[math]3\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)[/math] - также прогрессия нечётных (7) при [math]g \in \mathbb{N}[/math]

Надеюсь, что меня поймете...


Последний раз редактировалось 3axap 27 май 2018, 03:03, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 27 май 2018, 03:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6753
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 991
Спасибо получено:
491 раз в 460 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
То есть, так как:

[math]2\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{b}(2j-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{c}(2j-1)=\sum\limits_{l=1}^{f}(2l-1)[/math], то:

[math]3\sum\limits_{i=1}^{a}(2i-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{b}(2j-1)+\sum\limits_{j=a+1}^{c}(2j-1) \ne \sum\limits_{l=1}^{g}(2l-1)[/math], отсюда [math]g \notin \mathbb{N}[/math]

Проще говоря:

[math]2a^{2}+(b^{2}-a^{2})+(c^{2}-a^{2})=f^{2}[/math]

[math]3a^{2}+(b^{2}-a^{2})+(c^{2}-a^{2})=g^{2}[/math]

[math]a^{2}[/math] - прогрессия нечётных

[math](b^{2}-a^{2})[/math] - прогрессия нечётных

[math](c^{2}-a^{2})[/math] - прогрессия нечётных

при [math]f,g \in \mathbb{N}[/math]

[math]2a^{2}[/math] и [math]3a^{2}[/math] (две и три одинаковые прогрессии нечётных) совместно с одной и той же суммой двух нечётных прогрессий должны давать нечётные прогрессии в обоих случаях, если существует совершенный кубоид.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 29 май 2018, 18:48 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6753
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 991
Спасибо получено:
491 раз в 460 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Итак!

[math]d^{2}=a^{2}+b^{2}[/math]

[math]e^{2}=a^{2}+c^{2}[/math]

[math]f^{2}=b^{2}+c^{2}[/math]

[math]g^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}[/math]

3axap писал(а):
[math]2a^{2}+(b^{2}-a^{2})+(c^{2}-a^{2})=f^{2}[/math]

[math]3a^{2}+(b^{2}-a^{2})+(c^{2}-a^{2})=g^{2}[/math]


Пусть: [math](b^{2}-a^{2})+(c^{2}-a^{2})=x[/math], тогда:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 2a^{2}+x=f^{2} \\
& 3a^{2}+x=g^{2}
\end{aligned}\right.[/math]


Следовательно: [math]gf=\sqrt{(2a^{2}+x)(3a^{2}+x)}[/math] - подкоренное выражение не является квадратом числа, отсюда: [math]gf \notin \mathbb{N}[/math]
так как по условию [math]f \in \mathbb{N}[/math], то [math]g \notin \mathbb{N}[/math]
Доказал! Всё намного проще!
:Yahoo!:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 30 май 2018, 22:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6753
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 991
Спасибо получено:
491 раз в 460 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Небольшое дополнение к предыдущему сообщению:


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& gf=\sqrt{(3a^{2}+x)(2a^{2}+x)} \\
& de=\sqrt{(3a^{2}+(x-c^2))(3a^{2}+(x-b^2))}
\end{aligned}\right.[/math]


Здесь хорошо видно, что по крайней мере одно из двух этих подкоренных выражений не является квадратом.

[math]\frac{ gf }{ de }=\sqrt{\frac{ (3a^{2}+x)(2a^{2}+x) }{ (3a^{2}+(x-c^2))(3a^{2}+(x-b^2)) } }[/math]

[math]\frac{ gf }{ de } \notin \mathbb{N}[/math]

Wolframalpha

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 15 июл 2018, 16:48 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6753
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 991
Спасибо получено:
491 раз в 460 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Верно ли я здесь показал геометрически невозможность существования совершенного кубоида?

Изображение

На рисунке жёлтым цветом условно изображена половина развертки кубоида Эйлера abc. Покажем, что длина пространственной диагонали в кубоиде Эйлера не будет являться целым числом.
Итак:

[math]OB=OC[/math], [math]OB \perp OC[/math]

Запишем координаты точек:

[math]O(0;0)[/math]

[math]C(-a;-b)[/math]

[math]B(b;-a)[/math]

Обозначенные отрезки соответственно имеют длины:

[math]\left| OA \right|=c[/math]

[math]\left| OB \right| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}[/math]

[math]\left| CA \right| = \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^2}[/math] равна пространственной диагонали

[math]\left| AB \right| =\sqrt{a^{2}+b^{2}}-c[/math]

Найдём длину отрезков через координаты:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \left| AB \right|=\sqrt{(b-x)^{2}+(-a-y)^{2}} \\
& \left| OA \right|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{aligned}\right.[/math]


После подстановки получаем следующую систему уравнений:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \sqrt{(b-x)^{2}+(-a-y)^{2}} =\sqrt{a^{2}+b^{2}}-c \\
& \sqrt{x^{2}+y^{2}=c}
\end{aligned}\right.[/math]


Упрощаем:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& x^{2}-2xb+y^{2}+2ay=c^{2}-2c\sqrt{a^{2}+b^{2}} \\
& y=\sqrt{c^{2}-x^{2}}
\end{aligned}\right.[/math]


После подстановки значения вместо переменной [math]y[/math] получаем уравнение:

[math]bx-a\sqrt{c^{2}-x^{2}}-c\sqrt{a^{2}+b^{2}}=0[/math]

Отсюда координата [math]x[/math] точки [math]A[/math], являющейся концом отрезка [math]CA[/math] не имеет решений в целых числах для кубоида Эйлера. Соответственно, после подстановки, координата [math]y[/math] также не имеет целых решений, то есть: [math]x,y \notin \mathbb{N}[/math]. Так как точка [math]C(-a;-b)[/math], являющаяся концом того же отрезка [math]CA[/math] имеет целые координаты, то длина отрезка [math]CA[/math], а, следовательно, и длина равной ему пространственной диагонали данного кубоида Эйлера не может быть выражена целым числом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совершенный кубоид
СообщениеДобавлено: 15 июл 2018, 20:32 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6753
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 991
Спасибо получено:
491 раз в 460 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пропустил задание координат для точки [math]A(x;y)[/math], но я думаю, что это из решения как раз понятно.
Меня интересует: справедливый вывод я здесь сделал, или нет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.    На страницу Пред.  1 ... 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43 ... 57  След.  Страница 40 из 57 [ Сообщений: 562 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Совершенный кубоид. Отладка

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

3axap

86

1289

15 апр 2022, 00:40

Существует ли совершенный параллелепипед?

в форуме Палата №6

ivashenko

1

15604

27 май 2019, 22:48

Рациональный кубоид

в форуме Размышления по поводу и без

3axap

116

33775

16 мар 2018, 01:22

Гнем кубоид

в форуме Палата №6

ivashenko

0

9410

27 май 2019, 22:41

Кубоид. Ностальгия

в форуме Геометрия

FEBUS

39

1301

07 июн 2020, 17:44

Однопарам ф-ла для ТП и кубоид Эйлера

в форуме Дискуссионные математические проблемы

3axap

29

581

07 июл 2022, 00:36


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved