Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Почему не сходится ряд и как его сойти?
СообщениеДобавлено: 08 июл 2017, 14:08 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Известно, что ряд: [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/math] расходится. Рассмотрим следующие соображения:
Представим себе множество натуральных чисел [math]\mathbb N[/math] и положим, что всё оно есть одно целое, обозначим это целое 1, Выделим подмножество чисел, кратных двум, т.е. подмножество четных чисел. Таких чисел - каждое второе в натуральном ряду, аналогично выделим подмножество чисел кратных 3, этих чисел треть в натуральном ряду, казалось бы чисел кратных 2-м и чисел кратных 3-м [math]\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}[/math] от всего натурального ряда. Но дело в том, что числа кратные одновременно 2-м и 3-м учтены здесь дважды, один раз в составе подмножества чисел кратных 2-м, второй раз - в подмножестве чисел кратных 3-м, таким образом эти числа необходимо как-то извлечь из нашей суммы: [math]\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\alpha=\frac{5}{6}-\alpha[/math], далее рассматриваем числа кратные четырем, они полностью принадлежат множеству чисел кратных 2-м и их количество не принадлежит [math]\frac{1}{6}+\alpha[/math], оставшейся от нашего натурального множества после рассмотрения суммы множеств чисел кратных 2-м и кратных 3-м. Получается необходимо рассматривать числа кратные 5, их получается в натуральном ряду - каждое пятое число, но при этом среди них есть числа, которые помимо 5-ти кратны еще 2-м и 3-м одновременно, а также те, которые помимо 5-ти кратны только 3-м или только 2-м. Положим всех этих чисел [math]\beta[/math], тогда

[math]\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\alpha+\frac{1}{5}-\beta=\frac{31}{30}-\alpha-\beta,.........[/math]

Вопросы:
1). Можно ли продолжив аналогичные рассуждения до бесконечности получить сходящийся к 1 ряд?
2). Известен ли такой ряд?
3). Как найти долю пересекающихся чисел, учтенных несколько раз?
4). Известны ли какие-нибудь ряды, включающие ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/math] или [math]\sum_{p}\frac{1}{p}[/math]и сходящиеся при этом?
5) Правильно ли, что данный ряд будет сводится к сумме чисел, являющихся отрицательными степенями простых за вычетом суммы чисел, являющихся произведением простых не содержащих квадратов в степени -1?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почему не сходится ряд и как его сойти?
СообщениеДобавлено: 08 июл 2017, 15:15 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5207
Cпасибо сказано: 340
Спасибо получено:
923 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
4) нет, это невозможно. Ряд, включающий гармонический, неизбежно будет "не меньше".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почему не сходится ряд и как его сойти?
СообщениеДобавлено: 08 июл 2017, 15:40 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
4) нет, это невозможно. Ряд, включающий гармонический, неизбежно будет "не меньше".

А знакопеременный, включающий гармонический и что-то исключающий?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почему не сходится ряд и как его сойти?
СообщениеДобавлено: 08 июл 2017, 23:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подскажите пожалуйста, как записать такой ряд компактно и как посчитать к чему он сходится и сходится ли вообще?

[math]\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}-\frac{1}{2*3})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{2*5}-\frac{1}{3*5}+\frac{1}{2*3*5})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{2*7}-\frac{1}{3*7}-\frac{1}{5*7}+\frac{1}{2*3*7}+\frac{1}{2*5*7}+\frac{1}{3*5*7}-\frac{1}{2*3*5*7})+(\frac{1}{11}-\frac{1}{2*11}-\frac{1}{3*11}-\frac{1}{5*11}-\frac{1}{7*11}+\frac{1}{2*3*11}+\frac{1}{2*5*11}+\frac{1}{2*7*11}+\frac{1}{3*5*11}+\frac{1}{3*7*11}+\frac{1}{5*7*11}-\frac{1}{2*3*5*11}-\frac{1}{2*3*7*11}-\frac{1}{2*5*7*11}-\frac{1}{3*5*7*11}+\frac{1}{2*3*5*7*11})+.........[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почему не сходится ряд и как его сойти?
СообщениеДобавлено: 09 июл 2017, 01:35 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У Вас такие частичные суммы. Похоже, что предел существует:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F2,2%2F3,11%2F15,27%2F35,61%2F77,...

Попробуйте продлить ряд частичных сумм, чтобы удостовериться в моей гипотезе.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
ivashenko
 Заголовок сообщения: Re: Почему не сходится ряд и как его сойти?
СообщениеДобавлено: 09 июл 2017, 14:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я конечно предполагал, что ряд сходится исходя из уже рассчитанных членов, но расчет очередного члена не является доказательством сходимости ряда, это занятие бесполезное, тем белее, что количество слагаемых в каждом из членов ряда очень быстро возрастает, поэтому не вижу смысла их генерировать вручную.

Необходимо как-то доказать, что ряд сходится, найти значение к которому он сходится и записать его в компактной форме. Возможно как-то его преобразовать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почему не сходится ряд и как его сойти?
СообщениеДобавлено: 09 июл 2017, 15:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я попробовал так: в энциклопедии числовых последовательностей ввел сначала 4 числа от числителей (у частичных сумм) и получил последовательность
https://oeis.org/A254196
у которой пятый числитель совпал с 61
То же - со знаменателями.
https://oeis.org/A060753

В описаниях общих формул много. Можно подобрать лучшие.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
ivashenko
 Заголовок сообщения: Re: Почему не сходится ряд и как его сойти?
СообщениеДобавлено: 09 июл 2017, 19:29 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А вдруг числители или знаменатели шестых, сотых или тысячных членов ряда не сойдутся с членами последовательностей в OEIS?

Нужно выводить формулы числителей и знаменателей или членов ряда, хотя бы записать общую формулу, чтобы там индукцию применить, хотя какая к черту индукция, числа-то простые. Значит искать преобразование какое-то. Но может случиться и так, что не останется больше ничего, кроме как подбирать лучшие формулы и верить в них.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почему не сходится ряд и как его сойти?
СообщениеДобавлено: 09 июл 2017, 19:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko
Так я и говорю: найдите еще пару частичных сумм и будет все ясно. Я уверен, что все сойдется, ибо случайно пятые члены числителя и знаменателя совпасть не могли у меня. Уверен, что и шестые совпадут. Дело десяти минут всего.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почему не сходится ряд и как его сойти?
СообщениеДобавлено: 09 июл 2017, 22:18 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, предположим найду я ещё 2 члена ряда и их числители и знаменатели совпадут с последовательностями в OEIS, будет ли это значить, что все члены ряда совпадут с последовательностями в OEIS? Или это лишь в неопределенной мере повысит вероятность такого совпадения? Можно ли будет достоверно утверждать, что этот ряд эквивалентен сумме соотнесенных членов последовательностей? В том то и дело, что достоверно в этом случае утверждать ничего нельзя, а лишь с неопределенной долей вероятности. Т.е. это не будет доказательством. Гипотезой, предположением -да. Таким образом мы перейдём от одного предположения(гипотезы) к другому, если продолжить доказывать что-либо в том же духе, то можно запутаться в гипотезах.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 19 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сходится ли ряд из кубов, если сходится сам ряд?

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Human

9

1441

24 ноя 2016, 16:41

Сходится ли ряд?

в форуме Ряды

Resolut1on

2

188

17 ноя 2020, 20:51

Сходится ли ряд

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ryslannn

4

240

18 дек 2017, 09:58

Сходится ли ряд?

в форуме Ряды

mathematician

0

353

03 фев 2016, 19:29

Сходится или нет

в форуме Ряды

tanyhaftv

2

198

02 ноя 2018, 20:42

При каких р ряд сходится?

в форуме Ряды

genia2030

5

229

01 ноя 2017, 12:06

К чему сходится ряд?

в форуме Ряды

misterXY

7

241

24 окт 2022, 22:39

Сходится ли числовой ряд?

в форуме Ряды

TheUgly

2

178

05 окт 2021, 20:17

Решение не сходится

в форуме Геометрия

Larry

14

713

07 мар 2018, 13:35

Докажите что ряд сходится

в форуме Ряды

karastia_13

2

378

12 мар 2018, 23:23


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved