Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 19 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ivashenko |
|
|
Представим себе множество натуральных чисел [math]\mathbb N[/math] и положим, что всё оно есть одно целое, обозначим это целое 1, Выделим подмножество чисел, кратных двум, т.е. подмножество четных чисел. Таких чисел - каждое второе в натуральном ряду, аналогично выделим подмножество чисел кратных 3, этих чисел треть в натуральном ряду, казалось бы чисел кратных 2-м и чисел кратных 3-м [math]\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}[/math] от всего натурального ряда. Но дело в том, что числа кратные одновременно 2-м и 3-м учтены здесь дважды, один раз в составе подмножества чисел кратных 2-м, второй раз - в подмножестве чисел кратных 3-м, таким образом эти числа необходимо как-то извлечь из нашей суммы: [math]\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\alpha=\frac{5}{6}-\alpha[/math], далее рассматриваем числа кратные четырем, они полностью принадлежат множеству чисел кратных 2-м и их количество не принадлежит [math]\frac{1}{6}+\alpha[/math], оставшейся от нашего натурального множества после рассмотрения суммы множеств чисел кратных 2-м и кратных 3-м. Получается необходимо рассматривать числа кратные 5, их получается в натуральном ряду - каждое пятое число, но при этом среди них есть числа, которые помимо 5-ти кратны еще 2-м и 3-м одновременно, а также те, которые помимо 5-ти кратны только 3-м или только 2-м. Положим всех этих чисел [math]\beta[/math], тогда [math]\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\alpha+\frac{1}{5}-\beta=\frac{31}{30}-\alpha-\beta,.........[/math] Вопросы: 1). Можно ли продолжив аналогичные рассуждения до бесконечности получить сходящийся к 1 ряд? 2). Известен ли такой ряд? 3). Как найти долю пересекающихся чисел, учтенных несколько раз? 4). Известны ли какие-нибудь ряды, включающие ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/math] или [math]\sum_{p}\frac{1}{p}[/math]и сходящиеся при этом? 5) Правильно ли, что данный ряд будет сводится к сумме чисел, являющихся отрицательными степенями простых за вычетом суммы чисел, являющихся произведением простых не содержащих квадратов в степени -1? |
||
Вернуться к началу | ||
Booker48 |
|
|
4) нет, это невозможно. Ряд, включающий гармонический, неизбежно будет "не меньше".
|
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Booker48 писал(а): 4) нет, это невозможно. Ряд, включающий гармонический, неизбежно будет "не меньше". А знакопеременный, включающий гармонический и что-то исключающий? |
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Подскажите пожалуйста, как записать такой ряд компактно и как посчитать к чему он сходится и сходится ли вообще?
[math]\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}-\frac{1}{2*3})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{2*5}-\frac{1}{3*5}+\frac{1}{2*3*5})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{2*7}-\frac{1}{3*7}-\frac{1}{5*7}+\frac{1}{2*3*7}+\frac{1}{2*5*7}+\frac{1}{3*5*7}-\frac{1}{2*3*5*7})+(\frac{1}{11}-\frac{1}{2*11}-\frac{1}{3*11}-\frac{1}{5*11}-\frac{1}{7*11}+\frac{1}{2*3*11}+\frac{1}{2*5*11}+\frac{1}{2*7*11}+\frac{1}{3*5*11}+\frac{1}{3*7*11}+\frac{1}{5*7*11}-\frac{1}{2*3*5*11}-\frac{1}{2*3*7*11}-\frac{1}{2*5*7*11}-\frac{1}{3*5*7*11}+\frac{1}{2*3*5*7*11})+.........[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
У Вас такие частичные суммы. Похоже, что предел существует:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F2,2%2F3,11%2F15,27%2F35,61%2F77,... Попробуйте продлить ряд частичных сумм, чтобы удостовериться в моей гипотезе. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: ivashenko |
||
ivashenko |
|
|
Я конечно предполагал, что ряд сходится исходя из уже рассчитанных членов, но расчет очередного члена не является доказательством сходимости ряда, это занятие бесполезное, тем белее, что количество слагаемых в каждом из членов ряда очень быстро возрастает, поэтому не вижу смысла их генерировать вручную.
Необходимо как-то доказать, что ряд сходится, найти значение к которому он сходится и записать его в компактной форме. Возможно как-то его преобразовать. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Я попробовал так: в энциклопедии числовых последовательностей ввел сначала 4 числа от числителей (у частичных сумм) и получил последовательность
https://oeis.org/A254196 у которой пятый числитель совпал с 61 То же - со знаменателями. https://oeis.org/A060753 В описаниях общих формул много. Можно подобрать лучшие. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: ivashenko |
||
ivashenko |
|
|
А вдруг числители или знаменатели шестых, сотых или тысячных членов ряда не сойдутся с членами последовательностей в OEIS?
Нужно выводить формулы числителей и знаменателей или членов ряда, хотя бы записать общую формулу, чтобы там индукцию применить, хотя какая к черту индукция, числа-то простые. Значит искать преобразование какое-то. Но может случиться и так, что не останется больше ничего, кроме как подбирать лучшие формулы и верить в них. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
ivashenko
Так я и говорю: найдите еще пару частичных сумм и будет все ясно. Я уверен, что все сойдется, ибо случайно пятые члены числителя и знаменателя совпасть не могли у меня. Уверен, что и шестые совпадут. Дело десяти минут всего. |
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Ну, предположим найду я ещё 2 члена ряда и их числители и знаменатели совпадут с последовательностями в OEIS, будет ли это значить, что все члены ряда совпадут с последовательностями в OEIS? Или это лишь в неопределенной мере повысит вероятность такого совпадения? Можно ли будет достоверно утверждать, что этот ряд эквивалентен сумме соотнесенных членов последовательностей? В том то и дело, что достоверно в этом случае утверждать ничего нельзя, а лишь с неопределенной долей вероятности. Т.е. это не будет доказательством. Гипотезой, предположением -да. Таким образом мы перейдём от одного предположения(гипотезы) к другому, если продолжить доказывать что-либо в том же духе, то можно запутаться в гипотезах.
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 19 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Сходится ли ряд из кубов, если сходится сам ряд? | 9 |
1441 |
24 ноя 2016, 16:41 |
|
Сходится ли ряд?
в форуме Ряды |
2 |
188 |
17 ноя 2020, 20:51 |
|
Сходится ли ряд
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
4 |
240 |
18 дек 2017, 09:58 |
|
Сходится ли ряд?
в форуме Ряды |
0 |
353 |
03 фев 2016, 19:29 |
|
Сходится или нет
в форуме Ряды |
2 |
198 |
02 ноя 2018, 20:42 |
|
При каких р ряд сходится?
в форуме Ряды |
5 |
229 |
01 ноя 2017, 12:06 |
|
К чему сходится ряд?
в форуме Ряды |
7 |
241 |
24 окт 2022, 22:39 |
|
Сходится ли числовой ряд?
в форуме Ряды |
2 |
178 |
05 окт 2021, 20:17 |
|
Решение не сходится
в форуме Геометрия |
14 |
713 |
07 мар 2018, 13:35 |
|
Докажите что ряд сходится
в форуме Ряды |
2 |
378 |
12 мар 2018, 23:23 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |