Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Впишем равносторонний треугольник
СообщениеДобавлено: 26 апр 2017, 00:16 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Красиво... : :Bravo:
Получается, что построив от заданной точки A и произвольно выбранной на окружности точки B точку C так, чтобы они были вершинами равностороннего треугольника, мы, проведя серединный перпендикуляр к отрезку AC, в точке пересечения его с дугой окружности найдём центр гомотетии. И, "насильно" разместив точку C на окружности, заведомо получим точку B тоже на окружности.
Какие-то сомнения у меня есть, но это надо разобраться внутри себя. :)

А можно я, чтобы два раза не вставать, добавлю вам ещё (очень похожую на вашу) задачку? Нельзя ли и её как-то аналогично решить ("лобовое" решение довольно очевидно).

Итак - условие как у вас, но - точка A лежит внутри окружности. Решение будет не всегда существовать и не всегда единственным. Можно как-то применить ваш метод?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Впишем равносторонний треугольник
СообщениеДобавлено: 26 апр 2017, 07:35 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Конечно можно. Только первывым центром гомотетии будет точка А. на работу приеду, начерчу, на глаз будет 2 решения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Впишем равносторонний треугольник
СообщениеДобавлено: 26 апр 2017, 08:05 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Построение ничем не будет отличаться от вписанного треугольника, разве что для построения окружности ГМТ потребуется 3 точки, а не 2.
Изображение
Точка А зафиксирована, точка С двигается по окружности.
Для построения окружности ГМТ точки В мы строим на заданной окружности 3 равносторонних треугольника удовлетворяющих условию, вершины В - красные точки, после чего, по 3 точкам, строим окружность ГМТ (через серединные перпендикуляры хорд, что бы не перегружать чертеж, я упростил и построил по 3 автокадом, но через хорды тоже просто), точки пересечения окружности ГМТ с заданной и будут решением.

Аналогично можно решить измененную задачу, т. А находится за окружностью, а точки В и С должны находиться на.

В офтопе ссылка на тему, где аналогичным образом строятся квадраты, у которых 1 вершина закреплена в точке, а 2 другие должны находиться на заданных окружностях.
Данную теорию я обнаружил при решении задачи на вписание квадрата в острый угол. Там она более очевидна, так как одна из вершин квадрата двигается по прямой. После чего получил подтверждение и при движении точки по окружности. Подозреваю что и для любой другой кривой, она так же остается справедливой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Booker48
 Заголовок сообщения: Re: Впишем равносторонний треугольник
СообщениеДобавлено: 27 апр 2017, 22:54 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очень хочу понять решение, но не могу. :(
На рисунке не вижу ничего, что есть в описании под ним. Ни точки С, ни точек-вершин правильного треугольника. Особенно такого, одной из сторон которого могла бы быть точка А. :)

Спасибо за попытку объяснить, но, видимо, это уже мои проблемы. :sorry:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Впишем равносторонний треугольник
СообщениеДобавлено: 27 апр 2017, 23:35 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В ссылке под офтопом пошагово для квадрата касающегося 2 прямых и двух окружностей.

Вот выкладываю пошаговое построение для треугольника и точки внутри окружности.
Изображение
1-3 Строим три произвольных равносторонних треугольника, таким образом что вторая вершина перемещается по окружности. Определяем красные точки, это будут наши B', B'', B'''.
4. Строим по B', B'', B''' окружность ГМТ для точек В, точки пересечения окружности ГМТ с заданной и будут искомыми решениями задачи: В1 и В2.

Следует заметить, что таким образом можно вписать все что угодно, имеющее пропорции (пропорционально расположенные точки, для которых можно построить ГМТ)
Понятное дело для сложных кривых сложно проверить правильность данной теории, но для окружности и прямой - проверенно и перепроверенно. При условии фиксации точки и передвижения любой другой пропорционально расположенной точки по прямой либо окружности, все другие пропорционально расположенные точки будут так же двигаться по прямой либо окружности.
Предполагаю что это касается любых кривых.

Понятное дело что по прямой, гораздо легче все двигать, чем по окружности, так как достаточно только 2 точки для построения. Вот, к примеру, решение задачи:
Дано две прямых а и б, на одной прямой выбрана произвольная точка А, вписать окружность таким образом что бы она касалась одной прямой в точке А и второй прямой.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Впишем равносторонний треугольник
СообщениеДобавлено: 28 апр 2017, 00:50 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо огромное, внимательно разберу, но уже утром. :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Впишем равносторонний треугольник
СообщениеДобавлено: 28 апр 2017, 06:50 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48, проблема в том что у меня отсутствует аналитическое подтверждение полученной эксперементальным путем теории. То есть способ работает, но он не имеет строгого геометрического либо аналитического доказательства.
Уже по прошествию времени, пришел к выводу что доказать можно только через центр гомотетии, которым является зафиксированная точка, по отношению к которой все фигуры гомотетичны.

Но тем не менее, как минимум, для окружности и прямых способ работает 100%

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Впишем равносторонний треугольник
СообщениеДобавлено: 28 апр 2017, 08:37 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Из не очевидных наблюдений:
Любое построение пропорциональных фигур, поддается анализу, в итоге окружности ГМТ, можно построить "читерским" методом, полученным как результат эксперемента.
Изображение
(черная окружность - заданная, синие - строим треугольник, красные - окружности ГМТ)
Рис. 1. Точка А принадлежит окружности w(O;R). Решение: строим равносторонние треугольники на AO, третья вершина будет центром окружности ГМТ, экспериментально определили, что для любого равностороннего треугольника двигающегося по окружности радиус ГМТ будет равняться радиусу заданной окружности. Строим из 3ьем вершины ГМТ радиусом заданной, получаем вершины.
Рис. 2. Точка А находится внутри окружности. Решение аналогично. Строим равносторонние треугольники на АО, из 3ьей вершины строим окружности ГМТ радиусом R.
Рис. 3. Точка А находится за окружностью, решение точно такое же. Строим треуглы на АО, из В окружность ГМТ радиусом R, получаем наше решение.

Сразу видим что 1 точка выкалывается, а именно центр заданной окружности, так как в этом случае обе точки двигаются по ней, то такой способ построения не подходит.

Аналогично придвижении квадрата по окружности, при фиксации точки А и движении B по окружности, ГМТ для точки С будет окружность с радиусом исходной.
Вообще интереснее вращать многоугольники с n>3, так как дает больше вариантов расположения окружностей ГМТ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Впишем равносторонний треугольник
СообщениеДобавлено: 28 апр 2017, 23:09 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race писал(а):
1-3 Строим три произвольных равносторонних треугольника, таким образом что вторая вершина перемещается по окружности. Определяем красные точки, это будут наши B', B'', B'''.4. Строим по B', B'', B''' окружность ГМТ для точек В, точки пересечения окружности ГМТ с заданной и будут искомыми решениями задачи: В1 и В2.

Не, я всё же тупой, не понимаю вашего объяснения. :(
И на развёрнутой пошагово картинке не вижу на последней вершин нужного треугольника.
Может быть, я плохо сформулировал задачу?
Имеем точку А внутри окружности. Нужно построить вписанный в эту окружность правильный треугольник, на одной из сторон которого будет лежать точка А.
Я вижу, что вроде бы точка А лежит на отрезке В1В2. Но, чёрт меня побери, не могу построить точку В3, чтобы В1В2В3 был правильным треугольником. Может, конечно, искажения в картинке, но и логики я не понимаю.
Сокращение ГМТ у вас - это от ГоМоТетия или от общепринятого в геометрии "геометрическое место точек"? В обоих случаях я не понимаю, что такое "окружность ГМТ", "радиус ГМТ" и "вершины ГМТ". :(
Извините за непонятливость, но мне реально хочется въехать в эту методику...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Впишем равносторонний треугольник
СообщениеДобавлено: 28 апр 2017, 23:25 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48, 3 вершина треугольника находится на окружности. Соответственно достаточно раствором циркуля, равным полученному AB1 или АВ2 провести окружность (из А, В1 (для АВ1) или В2 (для АВ2), третья точка будет на пересечении данной окружности с исходной.
Перечертить? Я просто на работе чертил, дома с нуля могу если не понятно.
Изображение
Перечертил, к 4 рисунку добавлены фиолетовые окружности, точки их пересечения с заданной будут С1 и С2.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.  Страница 3 из 4 [ Сообщений: 32 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Впишем равносторонний треугольник

в форуме Геометрия

Race

19

772

30 авг 2017, 10:03

Равносторонний треугольник

в форуме Геометрия

sfanter

2

283

09 июл 2014, 19:00

Делим пополам равносторонний треугольник

в форуме Геометрия

Booker48

20

683

14 фев 2022, 22:09

Задано квадрат. Вписать в него равносторонний треугольник

в форуме Геометрия

IvanSavkiv

3

382

16 июн 2018, 16:42

В треугольник вписать подобный ему треугольник

в форуме Геометрия

ferma-T

6

344

26 апр 2021, 19:55

Треугольник вписан в треугольник

в форуме Геометрия

Avgust

2

339

27 мар 2021, 02:05

Треугольник, вписанный в треугольник

в форуме Геометрия

Ukselus

3

519

12 фев 2021, 22:58

Треугольник

в форуме Геометрия

nicat

13

1053

20 апр 2015, 19:01

Треугольник

в форуме Геометрия

nicat

9

490

20 апр 2015, 00:17

Треугольник

в форуме Геометрия

nicat

11

921

16 май 2015, 14:28


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved