Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 3 |
[ Сообщений: 22 ] | На страницу 1, 2, 3 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Vadim Shlovikov |
|
|
|
1). Запишем тригонометрическое соотношение [math]\arcsin\frac{a\cdot x}{b}+\arccos\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\pi}{2}[/math] при [math]x\in[-\frac{b}{a};\frac{b}{a}];\;a>0;\;b>0[/math]. Докажем его. [math]\arcsin\frac{a\cdot x}{b}+\arccos\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\pi}{2}[/math]. [math]\arcsin\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{a\cdot x}{b}[/math]. [math]\sin\arcsin\frac{a\cdot x}{b}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{a\cdot x}{b}\right)[/math]. [math]\frac{a\cdot x}{b}=\cos\arccos\frac{a\cdot x}{b}[/math]. [math]\frac{a\cdot x}{b}=\frac{a\cdot x}{b}[/math]. Доказали. 2). Запишем тригонометрическое соотношение [math]arctg\frac{a\cdot x}{b}+arcctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\pi}{2}[/math] при [math]x\in\left(-\infty;\infty\right);\;a>0;\;b>0[/math]. Докажем его. [math]arctg\frac{a\cdot x}{b}+arcctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\pi}{2}[/math]. [math]arctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\pi}{2}-arcctg\frac{a\cdot x}{b}[/math]. [math]tg\,arctg\frac{a\cdot x}{b}=tg\left(\frac{\pi}{2}-arcctg\frac{a\cdot x}{b}\right)[/math]. [math]\frac{a\cdot x}{b}=ctg\,arcctg\frac{a\cdot x}{b}[/math]. [math]\frac{a\cdot x}{b}=\frac{a\cdot x}{b}[/math]. Доказали. 3). Запишем тригонометрическое соотношение [math]\arcsin\frac{a\cdot x}{b}+\arccos\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\pi}{2}[/math]. Далее [math]\arcsin\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{a\cdot x}{b}[/math]. [math]\cos\arcsin\frac{a\cdot x}{b}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{a\cdot x}{b}\right)[/math]. [math]\cos\arcsin\frac{a\cdot x}{b}=\sin\arccos\frac{a\cdot x}{b}[/math]. Получили тригонометрическое соотношение [math]\frac{\cos\arcsin\frac{a\cdot x}{b}}{\sin\arccos\frac{a\cdot x}{b}}=1[/math] при [math]x\in[-\frac{b}{a};\frac{b}{a}];\;a>0;\;b>0[/math]. 4). Аналогично с пунктом 3). доказывается тригонометрическое соотношение [math]\frac{tg\arcsin\frac{a\cdot x}{b}}{ctg\arccos\frac{a\cdot x}{b}}=1[/math] при [math]x\in[-\frac{b}{a};\frac{b}{a}];\;a>0;\;b>0[/math]. 5). Аналогично с пунктом 3). доказывается тригонометрическое соотношение [math]\frac{ctg\arcsin\frac{a\cdot x}{b}}{tg\arccos\frac{a\cdot x}{b}}=1[/math] при [math]x\in[-\frac{b}{a};\frac{b}{a}];\;a>0;\;b>0[/math]. 6). Запишем тригонометрическое соотношение [math]arctg\frac{a\cdot x}{b}+arcctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\pi}{2}[/math]. Далее [math]arctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\pi}{2}-arcctg\frac{a\cdot x}{b}[/math]. [math]\sin\,arctg\frac{a\cdot x}{b}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-arcctg\frac{a\cdot x}{b}\right)[/math]. [math]\sin\,arctg\frac{a\cdot x}{b}=\cos\,arcctg\frac{a\cdot x}{b}[/math]. Получили тригонометрическое соотношение [math]\frac{\sin\,arctg\frac{a\cdot x}{b}}{\cos\,arcctg\frac{a\cdot x}{b}}=1[/math] при [math]x\in\left(-\infty;\infty\right);\;a>0;\;b>0[/math]. 7). Аналогично с пунктом 6). доказывается тригонометрическое соотношение [math]\frac{\cos\,arctg\frac{a\cdot x}{b}}{\sin\,arcctg\frac{a\cdot x}{b}}=1[/math] при [math]x\in\left(-\infty;\infty\right);\;a>0;\;b>0[/math]. 8). Аналогично с пунктом 6). доказывается тригонометрическое соотношение [math]\frac{ctg\, arctg\frac{a\cdot x}{b}}{tg\, arcctg\frac{a\cdot x}{b}}=1[/math] при [math]x\in\left(-\infty;\infty\right);\;a>0;\;b>0[/math]. 9). Запишем тригонометрическое соотношение [math]\cos\arcsin\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}\cdot x^{2}}}{b}[/math] при [math]x\in[-\frac{b}{a};\frac{b}{a}];\;a>0;\;b>0[/math]. Докажем его: [math]\cos\arcsin\frac{a\cdot x}{b}=\sqrt{1-\sin^{2}\arcsin\frac{a\cdot x}{b}}=\sqrt{1-\frac{a^{2}\cdot x^{2}}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}\cdot x^{2}}}{b}[/math]. Доказали. 10). Аналогично с пунктом 9). доказывается тригонометрическое соотношение [math]\sin\arccos\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}\cdot x^{2}}}{b}[/math] при [math]x\in[-\frac{b}{a};\frac{b}{a}];\;a>0;\;b>0[/math]. 11). Запишем тригонометрическое соотношение [math]\cos\,arctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{b}{\sqrt{b^{2}+a^{2}\cdot x^{2}}}[/math] при [math]x\in\left(-\infty;\infty\right)[/math]. Докажем его: [math]\cos\,arctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{1}{\sqrt{1+tg^{2}\,arctg\frac{a\cdot x}{b}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a^{2}\cdot x^{2}}{b^{2}}}}=\frac{b}{\sqrt{b^{2}+a^{2}\cdot x^{2}}}[/math]. Доказали. 12). Аналогично с пунктом 11). доказывается тригонометрическое соотношение [math]\sin\,arcctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{b}{\sqrt{b^{2}+a^{2}\cdot x^{2}}}[/math] при [math]x\in\left(-\infty;\infty\right);\;a>0;\;b>0[/math]. 13). Добавим к выше изложенному тригонометрические соотношения, которые мы получили в теме "Интегралы" viewtopic.php?f=51&t=18430: [math]\left(\frac{\pi}{2}-\frac{a\cdot\alpha}{b}\right)=\begin{cases}\arcsin\cos\frac{a\cdot\alpha}{b};\\\arccos\sin\frac{a\cdot\alpha}{b};\\ arctg\,ctg\frac{a\cdot\alpha}{b};\\ arcctg\,tg\frac{a\cdot\alpha}{b};\\\alpha\in\left[0;\frac{b\cdot\pi}{a\cdot 2}\right];\;a>0;\;b>0.\end{cases}[/math] То есть [math]\arcsin\cos\frac{a\cdot\alpha}{b}=\arccos\sin\frac{a\cdot\alpha}{b}=arctg\,ctg\frac{a\cdot\alpha}{b}=arcctg\,tg\frac{a\cdot\alpha}{b}[/math] при [math]\alpha\in[0;\frac{b\cdot\pi}{a\cdot2}];\;a>0;\;b>0[/math]. |
|
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Вадим!
Вы очень много воды намутили, вместо того, чтобы рассмотреть простой график: Лучше, как великий специалист, разъясните - что это за таинственные зеленые вертикальки? |
||
Вернуться к началу | ||
Vadim Shlovikov |
|
|
|
Здесь должно быть [math]Y=0[/math]. Вы, Avgust, с этим согласны?
|
|
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Да, на графике есть отрезки, в которых Y=0. Они периодичны на оси 0X
И, например, в интервале от [math]\frac {\pi}{2}\,[/math] до [math]\, 2\pi \, \quad Y \ne 0[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Vadim Shlovikov |
|
|
|
Да, функция [math]y=\arcsin\cos\frac{a\cdot\alpha}{b}-\arccos\sin\frac{a\cdot\alpha}{b}=0[/math] при [math]\alpha\in[2\cdot\pi\cdot n;\frac{b\cdot\pi}{a\cdot2}+2\cdot\pi\cdot n];\;n=0;\pm1;\pm2;\pm3...;\;a>0;\;b>0[/math].
Это было описано в первом сообщении темы. |
|
Вернуться к началу | ||
Vadim Shlovikov |
|
|
|
Пример №1:
[math]\frac{b\cdot\cos^{2}\arcsin\frac{a\cdot x}{b}\cdot\cos\,arctg\frac{a\cdot x}{b}}{\sqrt{b^{2}-a^{2}\cdot x^{2}}\cdot\sin\arccos\frac{a\cdot x}{b}\cdot\sin\,arcctg\frac{a\cdot x}{b}}=1[/math] |
|
Вернуться к началу | ||
Vadim Shlovikov |
|
|
|
Продолжаем рассматривать тригонометрические соотношения.
14). [math]ctg\arcsin\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}\cdot x^{2}}}{a\cdot x}[/math] при [math]x\in[-\frac{b}{a};\frac{b}{a}];\;a>0;\;b>0[/math]. Докажем это. Имеем [math]\cos\arcsin\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}\cdot x^{2}}}{b};\;\left(1\right)[/math] и [math]\sin\arcsin\frac{a\cdot x}{b}=\frac{a\cdot x}{b};\;\left(2\right)[/math]. Разделим [math]\frac{\left(1\right)}{\left(2\right)}[/math], получаем [math]\frac{\cos\arcsin\frac{a\cdot x}{b}}{\sin\arcsin\frac{a\cdot x}{b}}=\frac{\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}\cdot x^{2}}}{b}}{\frac{a\cdot x}{b}}[/math]. В итоге [math]ctg\arcsin\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}\cdot x^{2}}}{a\cdot x}[/math]. Доказали. 15). По аналогии с пунктом 14). доказывается соотношение [math]tg\arccos\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}\cdot x^{2}}}{a\cdot x}[/math] при [math]x\in[-\frac{b}{a};\frac{b}{a}];\;a>0;\;b>0[/math]. 16). Из тригонометрических соотношений пуктов 14). и 15). следует, что [math]tg\arcsin\frac{a\cdot x}{b}\cdot tg\arccos\frac{a\cdot x}{b}=\frac{a\cdot x}{\sqrt{b^{2}-a^{2}\cdot x^{2}}}\cdot\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}\cdot x^{2}}}{a\cdot x}=1[/math]. 17). [math]\sin\,arctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{a\cdot x}{\sqrt{b^{2}+a^{2}\cdot x^{2}}}[/math] при [math]x\in\left(-\infty;\infty\right);\;a>0;\;b>0[/math]. Докажем это. Имеем [math]\cos\,arctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{b}{\sqrt{b^{2}+a^{2}\cdot x^{2}}};\;\left(1\right)[/math] и [math]tg\,arctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{a\cdot x}{b};\;\left(2\right)[/math]. Умножим [math]\left(1\right)\cdot\left(2\right)[/math], получаем [math]\cos\,arctg\frac{a\cdot x}{b}\cdot tg\,arctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{b}{\sqrt{b^{2}+a^{2}\cdot x^{2}}}\cdot\frac{a\cdot x}{b}[/math]. В итоге [math]\sin\,arctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{a\cdot x}{\sqrt{b^{2}+a^{2}\cdot x^{2}}}[/math]. Доказали. 18). По аналогии с пунктом 17). доказывается тригонометрическое соотношение [math]\cos\,arcctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{a\cdot x}{\sqrt{b^{2}+a^{2}\cdot x^{2}}}[/math] при [math]x\in\left(-\infty;\infty\right);\;a>0;\;b>0[/math]. 19). Из тригонометрических соотношений пунктов 17). и 18). следует, что [math]\frac{\sin\,arctg\frac{a\cdot x}{b}}{\cos\,arcctg\frac{a\cdot x}{b}}=\frac{\frac{a\cdot x}{\sqrt{b^{2}+a^{2}\cdot x^{2}}}}{\frac{a\cdot x}{\sqrt{b^{2}+a^{2}\cdot x^{2}}}}=1[/math]. |
|
Вернуться к началу | ||
Vadim Shlovikov |
|
|
|
20). Рассмотрим тригонометрическое соотношение [math]arctg \,\frac{a\cdot x}{b}=arcctg \,\frac{b}{a\cdot x}[/math].
Докажем его. Для этого перепишем его так [math]tg \, arctg \, \frac{a\cdot x}{b}=tg \, arcctg \, \frac{b}{a\cdot x}[/math]. [math]\frac{a\cdot x}{b}=\frac{1}{ctg \, arcctg \, \frac{b}{a\cdot x}}[/math] [math]\frac{a\cdot x}{b}=\frac{1}{\frac{b}{a\cdot x}}[/math] [math]\frac{a\cdot x}{b}=\frac{a\cdot x}{b}[/math] Доказали. |
|
Вернуться к началу | ||
Vadim Shlovikov |
|
|
|
21). Рассмотрим тригонометрическое соотношение [math]arctg\frac{b}{a\cdot x}=arcctg\frac{a\cdot x}{b}[/math].
Докажем его. Для этого перепишем его так [math]ctg \, arctg\frac{b}{a\cdot x}=ctg \, arcctg\frac{a\cdot x}{b}[/math]. [math]\frac{1}{tg \, arctg\frac{b}{a\cdot x}}=\frac{a\cdot x}{b}[/math]. [math]\frac{1}{\frac{b}{a\cdot x}}=\frac{a\cdot x}{b}[/math]. [math]\frac{a\cdot x}{b}=\frac{a\cdot x}{b}[/math]. Доказали. 22). Рассмотрим тригонометрическое соотношение [math]arctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\pi}{2}-arctg\frac{b}{a\cdot x}[/math]. Докажем его. Для этого перепишем его так [math]tg \, arctg\frac{a\cdot x}{b}=tg\left(\frac{\pi}{2}-arctg\frac{b}{a\cdot x}\right)[/math]. [math]\frac{a\cdot x}{b}=ctg \, arctg\frac{b}{a\cdot x}[/math] [math]\frac{a\cdot x}{b}=\frac{1}{tg \, arctg\frac{b}{a\cdot x}[/math] [math]\frac{a\cdot x}{b}=\frac{1}{\frac{b}{a\cdot x}}[/math] [math]\frac{a\cdot x}{b}=\frac{a\cdot x}{b}[/math] Доказали. 23). Рассмотрим тригонометрическое соотношение [math]arcctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\pi}{2}-arcctg\frac{b}{a\cdot x}[/math]. Докажем его. Для этого перепишем его так [math]ctg \, arcctg\frac{a\cdot x}{b}=ctg\left(\frac{\pi}{2}-arcctg\frac{b}{a\cdot x}\right)[/math]. [math]\frac{a\cdot x}{b}=tg \, arcctg\frac{b}{a\cdot x}[/math] [math]\frac{a\cdot x}{b}=\frac{1}{ctg \, arcctg\frac{b}{a\cdot x}[/math] [math]\frac{a\cdot x}{b}=\frac{1}{\frac{b}{a\cdot x}[/math] [math]\frac{a\cdot x}{b}=\frac{a\cdot x}{b}[/math] Доказали. 24). Рассмотрим тригонометрическое соотношение [math]\frac{\sin \, arctg \frac{a\cdot x}{b}}{\cos \, arctg\frac{b}{a\cdot x}}=1[/math]. Докажем его. Для этого запишем тригонометрическое соотношение [math]arctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\pi}{2}-arctg\frac{b}{a\cdot x}[/math]. Далее [math]\sin \, arctg\frac{a\cdot x}{b}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-arctg\frac{b}{a\cdot x}\right)[/math]. [math]\sin \, arctg\frac{a\cdot x}{b}=\cos \, arctg\frac{b}{a\cdot x}[/math]. В итоге получаем [math]\frac{\sin \, arctg\frac{a\cdot x}{b}}{\cos \, arctg\frac{b}{a\cdot x}}=1[/math]. 25). Доказательство тригонометрического соотношения [math]\frac{\cos \, arctg\frac{a\cdot x}{b}}{\sin \, arctg\frac{b}{a\cdot x}}=1[/math] аналогично доказательству пункта 24).. 26). Рассмотрим тригонометрическое соотношение [math]ctg \, arctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{b}{a\cdot x}[/math]. Докажем его. Для этого запишем тригонометрическое соотношение [math]arctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\pi}{2}-arctg\frac{b}{a\cdot x}[/math]. Далее [math]ctg \, arctg\frac{a\cdot x}{b}=ctg\left(\frac{\pi}{2}-arctg\frac{b}{a\cdot x}\right)[/math]. [math]ctg \, arctg\frac{a\cdot x}{b}=tg \, arctg\frac{b}{a\cdot x}[/math]. [math]ctg \, arctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{b}{a\cdot x}[/math]. Доказали. 27). Рассмотрим тригонометрическое соотношение [math]\frac{\sin \, arcctg\frac{a\cdot x}{b}}{\cos \, arcctg\frac{b}{a\cdot x}}=1[/math]. Докажем его. Для этого запишем тригонометрическое соотношение [math]arcctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\pi}{2}-arcctg\frac{b}{a\cdot x}[/math]. Далее [math]\sin \, arcctg\frac{a\cdot x}{b}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-arcctg\frac{b}{a\cdot x}\right)[/math]. [math]\sin \, arcctg\frac{a\cdot x}{b}=\cos \, arcctg\frac{b}{a\cdot x}[/math] [math]\frac{\sin \, arcctg\frac{a\cdot x}{b}}{\cos \, arcctg\frac{b}{a\cdot x}}=1[/math] Доказали. 28). Доказательство тригонометрического соотношения [math]\frac{\cos \, arcctg\frac{a\cdot x}{b}}{\sin \, arcctg\frac{b}{a\cdot x}}=1[/math] аналогично доказательству пункта 27).. 29). Рассмотрим тригонометрическое соотношение [math]tg \, arcctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{b}{a\cdot x}[/math]. Докажем его. Для этого запишем тригонометрическое соотношение [math]arcctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{\pi}{2}-arcctg\frac{b}{a\cdot x}[/math]. Далее [math]tg \, arcctg\frac{a\cdot x}{b}=tg\left(\frac{\pi}{2}-arcctg\frac{b}{a\cdot x}\right)[/math]. [math]tg \, arcctg\frac{a\cdot x}{b}=ctg \, arcctg\frac{b}{a\cdot x}[/math] [math]tg \, arcctg\frac{a\cdot x}{b}=\frac{b}{a\cdot x}[/math] Доказали. |
|
Вернуться к началу | ||
Vadim Shlovikov |
|
|
|
Внимание! Важная поправка ограничений. Тут [math]a>0; \; b>0[/math].
№1. [math]\arcsin\frac{a\cdot x}{b}=arcctg \frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}\cdot x^{2}}}{a\cdot x}; \; x\in(0;\frac{b}{a}].[/math]. №2. [math]\arccos\frac{a\cdot x}{b}=arctg\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}\cdot x^{2}}}{a\cdot x}; \; x\in(0;\frac{b}{a}][/math]. №3. [math]arctg\frac{a\cdot x}{b}=\arcsin\frac{a\cdot x}{\sqrt{b^{2}+a^{2}\cdot x^{2}}}; \; -1\leq\frac{a\cdot x}{\sqrt{b^{2}+a^{2}\cdot x^{2}}}\leq1[/math]. |
|
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3 След. | [ Сообщений: 22 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Рекуррентные соотношения | 2 |
399 |
20 мар 2016, 18:00 |
|
Рекуррентные соотношения
в форуме Алгебра |
2 |
142 |
05 ноя 2020, 10:46 |
|
Рекуррентные соотношения | 4 |
348 |
07 ноя 2017, 16:16 |
|
Реккурентные соотношения | 0 |
324 |
06 ноя 2014, 15:32 |
|
Рекуррентные соотношения | 0 |
333 |
17 дек 2014, 14:33 |
|
Рекуррентные соотношения | 4 |
393 |
22 окт 2017, 18:38 |
|
Решение рекуррентного соотношения | 2 |
345 |
21 июл 2019, 13:14 |
|
Рекуррентные соотношения (1 курс | 1 |
118 |
05 ноя 2020, 11:01 |
|
Рекуррентные соотношения и урны
в форуме Теория вероятностей |
0 |
139 |
21 фев 2021, 20:19 |
|
Доказать тождественность соотношения | 3 |
346 |
15 дек 2014, 01:39 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |