Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
prod_by |
|
||
1. Исследовать на сходимость ряды: а) [math]\sum_{n=1}^{\infty} {\!\left(n\arcsin\frac{2}{n}\right)\!}^n;\quad \dot{}[/math] б) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{8^n}{n^3+1};\quad \dot{}[/math] в) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{1/n}}{n^2};\quad \dot{}[/math] г) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^5}.[/math] 2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды а) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}};\quad \dot{}[/math] б) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{3n+1}};\quad \dot{}[/math] в) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}3^n}{2\cdot n!}.[/math] 3. Вычислить сумму ряда с точностью [math]E[/math] а) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)^{n+1}},~E=0,\!001;\quad \dot{}[/math] б) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(3n^2-1)^2},~E=0,\!01.[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
Igorious |
|
||
1.б) Исследовать по признаку Коши
1.в) Оценить сверху рядом [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{e}{{{n^2}}}}[/math], сходящимся по степенному признаку. По признаку сравнения исходный ряд также будет сходиться. 2.a) Расходится по необходимому условию, ибо общий член не стремится к нулю. 2.б) Сходится лишь условно (по Лейбницу: ряд знакочередующийся, модуль общего члена монотонно убывает), ибо абсолютно не сходится по степенному признаку. 2.в) [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{( - 1)}^{n - 1}}\frac{{{3^n}}}{{2 \cdot n!}}}[/math] Для исследования на абсолютную сходимость применим признак Даламбера: [math]\left| {{a_n}} \right| = \frac{{{3^n}}}{{2 \cdot n!}};\;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{{3^{n + 1}}}}{{2 \cdot (n + 1)!}} \cdot \frac{{2 \cdot n!}}{{{3^n}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{3}{{n + 1}} = 0 < 1[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
f3b4c9083ba91 |
|
||
[math]\[\begin{gathered} \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( {n\arcsin \frac{2}{n}} \right)}^n}} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{{\left( {n\arcsin \frac{2}{n}} \right)}^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n\arcsin \frac{2}{n} = \left[ {t = \frac{1}{n}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\arcsin 2t}}{t} = \left[ {\arcsin 2t \sim 2t} \right] = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{2t}}{t} = 2 > 1 \hfill \\\end{gathered} \][/math]
Ряд расходится. |
|||
Вернуться к началу | |||
f3b4c9083ba91 |
|
||
[math]\[\begin{gathered} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{8^n}}}{{{n^3} + 1}}} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{8^{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^3} + 1}}\frac{{{n^3} + 1}}{{{8^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{8^n}8}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^3} + 1}}\frac{{{n^3} + 1}}{{{8^n}}} = 8 \hfill \\ \end{gathered} \][/math]
По признаку Даламбера ряд расходится. |
|||
Вернуться к началу | |||
f3b4c9083ba91 |
|
||
[math]\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^5}}}} \][/math]
Воспользуемся предельным признаком сравнения. [math]\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^5}}}} \][/math] сходится. [math]\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^5}}}:\frac{1}{{{n^5}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^5}}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^5}}} = \frac{1}{{2{}^5}}\][/math] Вывод ряд сходится [math]\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^5}}}} \][/math]. |
|||
Вернуться к началу | |||
f3b4c9083ba91 |
|
||
[math]\sum_{n = 1}^\infty\frac{1}{n^2}e^{1/n}[/math]
Применим предельный признак сравнения. Сравним с [math]\sum_{n=1}^\infty\frac{e}{n^2}[/math] сходится. [math]\lim_{n\to\infty}\frac{e^{1/n}}{n^2}:\frac{e}{n^2} = \lim_{n \to \infty } \frac{e^{1/n}}{n^2}\frac{n^2}{e}= \frac{1}{e}\lim_{n\to\infty}e^{1/n} = \frac{1}{e}{e^{\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n}\ln e}}= \frac{1}{e}[/math] Ряд сходится. |
|||
Вернуться к началу | |||
f3b4c9083ba91 |
|
||
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды
Актуально? |
|||
Вернуться к началу | |||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
По поводу сумм двух рядов
в форуме Ряды |
3 |
165 |
01 июн 2019, 00:00 |
|
Сходимость числовых рядов
в форуме Ряды |
16 |
731 |
19 сен 2015, 21:53 |
|
Сумма числовых рядов
в форуме Ряды |
12 |
800 |
04 июн 2018, 06:43 |
|
Найти суммы числовых рядов
в форуме Ряды |
1 |
483 |
09 янв 2015, 15:10 |
|
Теоремы сравнения для числовых рядов
в форуме Ряды |
1 |
486 |
15 июн 2014, 07:45 |
|
Суммирование расходящихся числовых рядов
в форуме Ряды |
2 |
240 |
02 фев 2018, 14:31 |
|
Теорема Римана для условно сходящихся числовых рядов
в форуме Ряды |
1 |
709 |
13 май 2015, 17:43 |
|
Разложить функцию в ряд Фурье и найти суммы числовых рядов | 0 |
655 |
24 апр 2018, 23:14 |
|
Разложить функцию в ряд Фурье и найти суммы числовых рядов | 0 |
564 |
14 апр 2018, 23:46 |
|
Асимптотики сумм
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
1 |
344 |
22 окт 2015, 19:47 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |