Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задания на исследования числовых рядов и вычисление сумм
СообщениеДобавлено: 20 окт 2011, 07:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 окт 2011, 07:36
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите, пожалуйста, хоть что-нибудь из этого решить, а я в этом плохо разбираюсь :(

1. Исследовать на сходимость ряды:

а) [math]\sum_{n=1}^{\infty} {\!\left(n\arcsin\frac{2}{n}\right)\!}^n;\quad \dot{}[/math] б) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{8^n}{n^3+1};\quad \dot{}[/math] в) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{1/n}}{n^2};\quad \dot{}[/math] г) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^5}.[/math]

2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды

а) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}};\quad \dot{}[/math] б) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{3n+1}};\quad \dot{}[/math] в) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}3^n}{2\cdot n!}.[/math]

3. Вычислить сумму ряда с точностью [math]E[/math]

а) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)^{n+1}},~E=0,\!001;\quad \dot{}[/math] б) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(3n^2-1)^2},~E=0,\!01.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задания на исследования числовых рядов и вычисление сумм
СообщениеДобавлено: 20 окт 2011, 17:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 сен 2011, 20:51
Сообщений: 21
Откуда: Мiнск
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
7 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1.б) Исследовать по признаку Коши
1.в) Оценить сверху рядом [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{e}{{{n^2}}}}[/math], сходящимся по степенному признаку. По признаку сравнения исходный ряд также будет сходиться.

2.a) Расходится по необходимому условию, ибо общий член не стремится к нулю.
2.б) Сходится лишь условно (по Лейбницу: ряд знакочередующийся, модуль общего члена монотонно убывает), ибо абсолютно не сходится по степенному признаку.
2.в) [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{( - 1)}^{n - 1}}\frac{{{3^n}}}{{2 \cdot n!}}}[/math]
Для исследования на абсолютную сходимость применим признак Даламбера:
[math]\left| {{a_n}} \right| = \frac{{{3^n}}}{{2 \cdot n!}};\;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{{3^{n + 1}}}}{{2 \cdot (n + 1)!}} \cdot \frac{{2 \cdot n!}}{{{3^n}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{3}{{n + 1}} = 0 < 1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задания на исследования числовых рядов и вычисление сумм
СообщениеДобавлено: 20 окт 2011, 17:15 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 июл 2011, 08:55
Сообщений: 1352
Cпасибо сказано: 121
Спасибо получено:
509 раз в 449 сообщениях
Очков репутации: 178

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\[\begin{gathered} \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( {n\arcsin \frac{2}{n}} \right)}^n}} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{{\left( {n\arcsin \frac{2}{n}} \right)}^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n\arcsin \frac{2}{n} = \left[ {t = \frac{1}{n}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\arcsin 2t}}{t} = \left[ {\arcsin 2t \sim 2t} \right] = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{2t}}{t} = 2 > 1 \hfill \\\end{gathered} \][/math]
Ряд расходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задания на исследования числовых рядов и вычисление сумм
СообщениеДобавлено: 20 окт 2011, 17:24 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 июл 2011, 08:55
Сообщений: 1352
Cпасибо сказано: 121
Спасибо получено:
509 раз в 449 сообщениях
Очков репутации: 178

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\[\begin{gathered} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{8^n}}}{{{n^3} + 1}}} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{8^{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^3} + 1}}\frac{{{n^3} + 1}}{{{8^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{8^n}8}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^3} + 1}}\frac{{{n^3} + 1}}{{{8^n}}} = 8 \hfill \\ \end{gathered} \][/math]
По признаку Даламбера ряд расходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задания на исследования числовых рядов и вычисление сумм
СообщениеДобавлено: 20 окт 2011, 17:40 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 июл 2011, 08:55
Сообщений: 1352
Cпасибо сказано: 121
Спасибо получено:
509 раз в 449 сообщениях
Очков репутации: 178

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^5}}}} \][/math]
Воспользуемся предельным признаком сравнения.
[math]\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^5}}}} \][/math] сходится.
[math]\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^5}}}:\frac{1}{{{n^5}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^5}}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^5}}} = \frac{1}{{2{}^5}}\][/math]
Вывод ряд сходится [math]\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^5}}}} \][/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задания на исследования числовых рядов и вычисление сумм
СообщениеДобавлено: 20 окт 2011, 17:54 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 июл 2011, 08:55
Сообщений: 1352
Cпасибо сказано: 121
Спасибо получено:
509 раз в 449 сообщениях
Очков репутации: 178

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sum_{n = 1}^\infty\frac{1}{n^2}e^{1/n}[/math]

Применим предельный признак сравнения. Сравним с [math]\sum_{n=1}^\infty\frac{e}{n^2}[/math] сходится.

[math]\lim_{n\to\infty}\frac{e^{1/n}}{n^2}:\frac{e}{n^2} = \lim_{n \to \infty } \frac{e^{1/n}}{n^2}\frac{n^2}{e}= \frac{1}{e}\lim_{n\to\infty}e^{1/n} = \frac{1}{e}{e^{\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n}\ln e}}= \frac{1}{e}[/math]

Ряд сходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задания на исследования числовых рядов и вычисление сумм
СообщениеДобавлено: 21 окт 2011, 17:31 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 июл 2011, 08:55
Сообщений: 1352
Cпасибо сказано: 121
Спасибо получено:
509 раз в 449 сообщениях
Очков репутации: 178

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды
Актуально?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
По поводу сумм двух рядов

в форуме Ряды

Avgust

3

165

01 июн 2019, 00:00

Сходимость числовых рядов

в форуме Ряды

Zyf2121

16

731

19 сен 2015, 21:53

Сумма числовых рядов

в форуме Ряды

351w

12

800

04 июн 2018, 06:43

Найти суммы числовых рядов

в форуме Ряды

koallalo

1

483

09 янв 2015, 15:10

Теоремы сравнения для числовых рядов

в форуме Ряды

Jim

1

486

15 июн 2014, 07:45

Суммирование расходящихся числовых рядов

в форуме Ряды

Igor_yudin

2

240

02 фев 2018, 14:31

Теорема Римана для условно сходящихся числовых рядов

в форуме Ряды

westernru

1

709

13 май 2015, 17:43

Разложить функцию в ряд Фурье и найти суммы числовых рядов

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Valter017

0

655

24 апр 2018, 23:14

Разложить функцию в ряд Фурье и найти суммы числовых рядов

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

MrSviter

0

564

14 апр 2018, 23:46

Асимптотики сумм

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Quantum

1

344

22 окт 2015, 19:47


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved