Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

найти сумму рядов
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=8073
Страница 1 из 1

Автор:  Infected [ 04 окт 2011, 12:11 ]
Заголовок сообщения:  найти сумму рядов

Изображение

помогите, пожалуйста, решить

Автор:  arkadiikirsanov [ 04 окт 2011, 16:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти сумму рядов

См. мое сообщение в соседней теме.

Автор:  Alexdemath [ 05 окт 2011, 10:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти сумму рядов

Первое задание: найти сумму числового ряда

[math]\begin{aligned} \sum\limits_{n=5}^\infty& \,\frac{20}{n^2- 6n + 8}= \sum_{n=5}^\infty \frac{20}{(n - 2)(n - 4)} = 10\sum_{n = 5}^\infty \frac{n - 2 - (n - 4)}{(n - 2)(n - 4)}= 10\sum_{n = 5}^\infty\!\left(\frac{1}{n - 4}- \frac{1}{n - 2}\right)=\\[2pt] &=10\sum_{n=5}^\infty\!\left(\frac{1}{n - 3} - \frac{1}{n - 2} + \frac{1}{n - 4} - \frac{1}{n - 3}\right)= 10\sum_{n=5}^\infty\!\left(\frac{1}{n - 3} - \frac{1}{n-2}\right)+ 10\sum_{n=5}^\infty\!\left(\frac{1}{n - 4} - \frac{1}{n - 3}\right)\\[5pt] S_{1k}&=\sum_{n=5}^k\!\left(\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n - 2}\right)= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{k - 3} - \frac{1}{k - 2}= \frac{1}{2} - \frac{1}{k - 2}\\ S_1&= \lim_{k\to\infty}S_{1k}= \lim_{k\to \infty}\!\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{k - 2}\right) = \frac{1}{2}\\[5pt] S_{2k} &= \sum_{n = 5}^k\!\left(\frac{1}{n - 4} - \frac{1}{n - 3} \right)= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{k - 4} - \frac{1}{k - 3} = 1 - \frac{1}{k - 3}\\ S_2&= \lim_{k\to\infty}S_{2k}= \lim_{k \to \infty}\!\left(1 - \frac{1}{k-3}\right) = 1\\[5pt] S&=10\,S_1 + 10\,S_2 = 10 \cdot \frac{1}{2} + 10 \cdot 1 = 5 + 10 = 15\end{aligned}[/math]

Автор:  Alexdemath [ 05 окт 2011, 11:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти сумму рядов

Найти сумму степенного ряда [math]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1-x^4)^n}{n+1}[/math]
Определим с помощью признака Даламбера интервал сходимости ряда:

[math]\begin{aligned}a_n(x)&= \frac{(1-x^4)^n}{n+1}\quad \Rightarrow\quad a_{n+1}(x)= \frac{(1-x^4)^{n+1}}{n+2}\\ \lim_{n\to\infty}&\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right|= |1-x^4|\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n+2}= |1-x^4|<1~\Leftrightarrow ~\! -1<1-x^4<1~\Leftrightarrow\\[3pt] &\Leftrightarrow~\!-2<-x^4<0~\Leftrightarrow~0<x^4<2~\Leftrightarrow~x\in\!\left(-\sqrt[4]{2};0\right)\!\cup\!\left(0;\sqrt[4]{2} \right)\end{aligned}[/math]

При [math]x=0[/math] имеем ряд с общим членом [math]\frac{1}{n+1}[/math], который, очевидно, расходится; при [math]x=\pm\sqrt[4]{2}[/math] имеем знакочередующийся ряд с общим членом [math]\frac{(-1)^2}{n+1}[/math], который сходится согласно признаку Лейбница.

Итак, исходный степенной ряд сходится при [math]x\in\!\left[-\sqrt[4]{2};0\right)\!\cup\!\left(0;\sqrt[4]{2}\right][/math].
Найдём сумму данного ряда с помощью теорем о почленном дифференцировании и интегрировании рядов:

[math]\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty\frac{(1-x^4)^n}{n+1}&= \frac{1}{1-x^4}\sum_{n=0}^\infty \frac{(1-x^4)^{n + 1}}{n+1}= \frac{1}{1-x^4}\int\limits_1^x \!\left[\sum_{n=0}^\infty\frac{d}{dt}\frac{(1 - t^4)^{n+1}}{n+1}\right]\!dt=\\[3pt] &=\frac{1}{1-x^4}\int\limits_1^x\!\left[- 4t^3\sum_{n=0}^\infty(1 - t^4)^n\right]\,dt= \frac{1}{1-x^4}\int\limits_1^x\frac{-4t^3}{1-(1-t^4)}\,dt=\\[3pt] &=\frac{4}{x^4- 1}\int\limits_1^x \frac{dt}{t}= \left.{\frac{4}{x^4-1}\,\ln|t|}\right|_{t=1}^{t=x}= \frac{4\ln|x|}{x^4-1},~x\in\!\left[-\sqrt[4]{2};0\right)\!\cup\!\left(0;\sqrt[4]{2}\right]\end{aligned}[/math]

Автор:  Alexdemath [ 05 окт 2011, 11:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти сумму рядов

Найти сумму степенного ряда [math]\sum_{n=1}^\infty(n+1)x^{n-1}[/math].

[math]\begin{aligned}a_n(x) &= (n + 1){x^{n - 1}\quad \Rightarrow\quad a_{n+1}(x) = (n+2)x^n\\[3pt] \lim_{n\to\infty}& \left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right|= |x|\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1}=|x|<1\end{aligned}[/math]

Очевидно, что в граничных точках интервала [math]\pm1[/math] ряд расходится.

[math]\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty(n+1)x^{n-1}&= \frac{1}{x}\sum_{n=1}^\infty (n+1)x^n= \frac{1}{x}\frac{d}{dx}\sum_{n=1}^\infty(n+1)\int\limits_0^x t^n\,dt= \frac{1}{x}\frac{d}{dx}\sum_{n=1}^\infty x^{n+1}=\\[3pt] &=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\frac{x^2}{1-x}= \frac{1}{x}\frac{x(2 - x)}{(1 - x)^2} = \frac{2-x}{(1-x)^2},~|x|<1\end{aligned}[/math]

Автор:  Dianahh [ 16 янв 2014, 21:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти сумму рядов

используя почленное дифференцирование или интегрирование найти сумму ряда [math]\sum\limits_{n=0}^{ \infty }math] n+1|x[/math]

Автор:  Avgust [ 16 янв 2014, 21:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти сумму рядов

Первое задание я так делал: нашел частные суммы (решив систему шести линейных уравнений):

[math]\begin{aligned} \sum\limits_{n=5}^m\,\frac{20}{n^2- 6n + 8}=\frac {15m^2-95m+140}{m^2-5m+6}[/math]

Берем бесконечный предел и получаем 15

Автор:  dobby [ 17 янв 2014, 07:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти сумму рядов

Avgust Вы на дату взгляните.) Да и вопрос решенный...

Автор:  Dianahh [ 17 янв 2014, 18:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти сумму рядов

используя почленное дифференцирование или интегрирование найти сумму ряда
[math]\sum\limits_{n=0}^{ \infty } \frac{ n+1 }{ x^n }[/math]

Автор:  Avgust [ 17 янв 2014, 18:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти сумму рядов

dobby,
я задачи решаю для себя. Потом собираю урожай и пишу книги

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/