Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разложить функцию в ряд Тейлора
СообщениеДобавлено: 04 июн 2020, 17:27 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
Проконсультируйте пожалуйста.

Вот такое задание:
Изображение
Решал двумя способами.
1-ый способ:
Находил непосредственно производные и подставлял их значения в ряд Тейлора.
Результат такой:
Изображение

2-ой способ:
Провел замену [math]x-2= \mathbf{x}[/math]
Изображение
При этом общая формула Тейлора превращается в формулу Маклорена.
Далее использовал табличное разложение для косинуса.
Результат такой:
Изображение

Проверьте, пожалуйста, правильно ли у меня всё получилось?

И как показать, что оба ответа равны.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию в ряд Тейлора
СообщениеДобавлено: 04 июн 2020, 19:29 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Насчёт первого способа у меня большие сомнения - почему у Вас там всегда косинус, при последовательном дифференцировании косинус чередуется с синусом, да ещё с переменой знака!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию в ряд Тейлора
СообщениеДобавлено: 04 июн 2020, 20:07 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Насчёт первого способа у меня большие сомнения - почему у Вас там всегда косинус, при последовательном дифференцировании косинус чередуется с синусом, да ещё с переменой знака!


Вы правы. Да косинус и синус чередуются. И знаки меняются. Но чтобы привести к какому-то общему виду я синусы и косинусы представлял через синусы (используя формулы приведения).
И в итоге "энная" производная получилась через косинус.

Как-то так у меня получается:
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию в ряд Тейлора
СообщениеДобавлено: 04 июн 2020, 21:07 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теперь понял, но зачем надо было оставлять нулевые производные нечетного порядка? Достаточно было ограничиться чётными порядками производных, которые дают члены, совпадающие с разложением по второму способу!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию в ряд Тейлора
СообщениеДобавлено: 04 июн 2020, 21:11 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Теперь понял, но зачем надо было оставлять нулевые производные нечетного порядка? Достаточно было ограничиться чётными порядками производных, которые дают члены, совпадающие с разложением по второму способу!


А вот как это оформить (как это получается), как будет выглядеть? Что-то "меня заклинило".
Подскажите пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию в ряд Тейлора
СообщениеДобавлено: 04 июн 2020, 22:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно так: [math]n=2k+1[/math]: [math]cos\left( \frac{ \pi n }{ 2 } \right)=0[/math], для [math]n=2k[/math]: [math]cos\left( \frac{ \pi n }{ 2 } \right)=\left( -1 \right)^k[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
351w
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию в ряд Тейлора
СообщениеДобавлено: 04 июн 2020, 22:48 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2018, 22:06
Сообщений: 830
Cпасибо сказано: 209
Спасибо получено:
245 раз в 225 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\left( \sin{x} \right)^{\left( n \right) } = \sin{\left(x + \frac{ \pi n }{ 2 } \right) }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

R136a1

2

153

13 май 2022, 20:18

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

YoungMathematician

3

266

17 ноя 2018, 19:53

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

Pashasnuff

15

1126

09 май 2014, 15:26

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

devochka_s_toporom

2

552

08 июн 2014, 12:20

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

351w

1

152

20 ноя 2020, 21:14

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

351w

4

238

16 янв 2020, 08:38

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

351w

9

570

05 май 2021, 05:47

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

overmouse

6

225

20 апр 2020, 14:43

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

Pechenqko

24

1055

29 дек 2015, 20:44

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

mihailkumar

2

325

06 янв 2021, 19:02


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved