Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Ряд с номерами без цифры 7
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=69937
Страница 1 из 1

Автор:  lether [ 16 май 2020, 16:55 ]
Заголовок сообщения:  Ряд с номерами без цифры 7

Здравствуйте, пытаюсь выяснить сходимость\расходимость двух рядов: [math]a{n}[/math] равен 0, если в десятичной записи числа n есть цифра 7, и равен [math]\frac{ 1 }{ n }[/math] в остальных случаях, [math]b{n}[/math] наоборот, равен 0 если нет цифры 7 и [math]\frac{ 1 }{ n }[/math] если есть. Пыталась через интегральный признак Коши-Маклорена (задача задана после этой теоремы), но для него функция должна быть монотонной. Доказала только то, что сумма этих двух рядов расходится.

Автор:  MihailM [ 16 май 2020, 19:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ряд с номерами без цифры 7

Я бы так попробовал.

Оценим ряд где "0, если в десятичной записи числа n есть цифра 7"
Разобьем все n по к-значным числам.
Посмотрим сколько к-значных без семерки и умножим на максимальное 1/n в этой группе.

Автор:  lether [ 16 май 2020, 21:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ряд с номерами без цифры 7

Это такой ряд-оценка сверху? Вот я беру группы k-значных: от 1 до 9, следующая от 10 до 99, от 100 до 999... и в каждой беру число номеров без 7, то есть (8), (80), (800)... и дальше умножаю на максимальное: (8*1), (80*1/10), (800*1/100)... каждый раз получая 8. Похоже на доказательство Орема, но там бралось минимальное число в группе, то есть брался расходящийся ряд-оценка снизу, а тут расходящийся ряд-оценка сверху. Что дальше можно сделать?

Автор:  MihailM [ 16 май 2020, 22:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ряд с номерами без цифры 7

Двузначных без семерки 72

Автор:  lether [ 17 май 2020, 13:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ряд с номерами без цифры 7

MihailM писал(а):
Двузначных без семерки 72

Тогда точно не понимаю ваш вариант(

Автор:  MihailM [ 17 май 2020, 14:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ряд с номерами без цифры 7

Я хотел чтобы вы продолжили
Двузначных 72
Трехзначных ?
Четырехзначных ?

Автор:  lether [ 17 май 2020, 16:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ряд с номерами без цифры 7

Большое спасибо, всё поняла, сумма ряда ограничена числом 80, значит ряд сходится, а второй расходится :)

Автор:  Radley [ 19 май 2020, 10:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ряд с номерами без цифры 7

Интересный пример. А нельзя ли исследовать эти ряды с помощью признаков сравнения? Например, с рядом [math]\sum\limits_{1}^{ \infty } \frac{ n - 1 }{ n }[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/