Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Jelena1988 |
|
||
Заранее огромное спасибо! |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
|
Jelena1988 писал(а): Указать функции ряда, интервал сходства (конвергенции) [math]\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(x+2)^n}{n^23^n}[/math] Рассмотрим функцию: [math]f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(x+2)^n}{n^23^n}.[/math] Выпишем n-ый и n+1 члены ряда: [math]a_n=\frac{(x+2)^n}{n^23^n}~\Rightarrow~a_{n+1}=\frac{(x+2)^{n+1}}{(n+1)^23^{n+1}}=\frac{(x+2)(x+2)^n}{3(n+1)^23^n}.[/math] Найдём их отношение: [math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(x+2)(x+2)^n}{3(n+1)^23^n}:\frac{(x+2)^n}{n^23^n}=\frac{(x+2)n^2}{3(n+1)^2}.[/math] Вычислим предел абсолютного значения их отношения, откуда, на основании признака Даламбера, найдём интервал сходимости функционального ряда: [math]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1}{3}|x+2|\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}=\frac{1}{3}|x+2|\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{(1+1/n)^2}=[/math] [math]=\frac{1}{3}|x+2|<1~\Leftrightarrow~|x+2|<3~\Leftrightarrow~-3<x+2<3~\Leftrightarrow~-5<x<1.[/math] Исследуем функциональный ряд f(x) на сходимость в предельных точках -5 и 1: [math]f(-5)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-5+2)^n}{n^23^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-3)}^n}{n^23^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}.[/math] [math]f(1)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(1+2)^n}{n^23^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{3^n}{n^23^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}.[/math] То есть в предельных точках получили ряд обратных квадратов, который, как известно, сходится (например, по интегральному признаку Коши). Итак, исходный ряд сходится при [math]x\in[-5;1][/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: Jelena1988 |
||
[ Сообщений: 2 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Найти область сходимости функционального ряда
в форуме Ряды |
0 |
443 |
07 дек 2015, 15:46 |
|
Найти область сходимости функционального ряда
в форуме Ряды |
1 |
202 |
10 ноя 2021, 18:33 |
|
Найти область сходимости функционального ряда
в форуме Ряды |
2 |
720 |
20 май 2014, 13:36 |
|
Найти область сходимости функционального ряда
в форуме Ряды |
3 |
221 |
21 дек 2021, 02:13 |
|
Найти область сходимости функционального ряда
в форуме Ряды |
5 |
658 |
29 ноя 2016, 16:29 |
|
Найти область сходимости функционального ряда
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
170 |
29 ноя 2020, 17:43 |
|
Найти область сходимости функционального ряда
в форуме Ряды |
5 |
222 |
15 дек 2019, 16:00 |
|
Найти обл. сходимости функционального ряда, исслед на концах
в форуме Ряды |
1 |
728 |
21 июн 2014, 14:01 |
|
Найти интервал сходимости степенного ряда
в форуме Ряды |
1 |
380 |
30 янв 2015, 14:45 |
|
Найти интервал сходимости степенного ряда
в форуме Ряды |
3 |
316 |
21 май 2015, 19:43 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |