Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Как найти интервал сходимости функционального ряда?
СообщениеДобавлено: 05 май 2010, 08:05 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
17 апр 2010, 01:29
Сообщений: 117
Cпасибо сказано: 48
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как найти интервал сходимости функционального ряда

Изображение
Изображение

Заранее огромное спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Указать функции ряда, интервал сходства (конвергенции)
СообщениеДобавлено: 05 май 2010, 09:56 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Jelena1988 писал(а):
Указать функции ряда, интервал сходства (конвергенции)

[math]\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(x+2)^n}{n^23^n}[/math]

Рассмотрим функцию:

[math]f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(x+2)^n}{n^23^n}.[/math]

Выпишем n-ый и n+1 члены ряда:

[math]a_n=\frac{(x+2)^n}{n^23^n}~\Rightarrow~a_{n+1}=\frac{(x+2)^{n+1}}{(n+1)^23^{n+1}}=\frac{(x+2)(x+2)^n}{3(n+1)^23^n}.[/math]

Найдём их отношение:

[math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(x+2)(x+2)^n}{3(n+1)^23^n}:\frac{(x+2)^n}{n^23^n}=\frac{(x+2)n^2}{3(n+1)^2}.[/math]

Вычислим предел абсолютного значения их отношения, откуда, на основании признака Даламбера, найдём интервал сходимости функционального ряда:

[math]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1}{3}|x+2|\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}=\frac{1}{3}|x+2|\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{(1+1/n)^2}=[/math]

[math]=\frac{1}{3}|x+2|<1~\Leftrightarrow~|x+2|<3~\Leftrightarrow~-3<x+2<3~\Leftrightarrow~-5<x<1.[/math]

Исследуем функциональный ряд f(x) на сходимость в предельных точках -5 и 1:

[math]f(-5)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-5+2)^n}{n^23^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-3)}^n}{n^23^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}.[/math]

[math]f(1)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(1+2)^n}{n^23^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{3^n}{n^23^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}.[/math]

То есть в предельных точках получили ряд обратных квадратов, который, как известно, сходится (например, по интегральному признаку Коши).

Итак, исходный ряд сходится при [math]x\in[-5;1][/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
Jelena1988
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти область сходимости функционального ряда

в форуме Ряды

Brunetka25

0

443

07 дек 2015, 15:46

Найти область сходимости функционального ряда

в форуме Ряды

maverick231

1

202

10 ноя 2021, 18:33

Найти область сходимости функционального ряда

в форуме Ряды

pro100bantik

2

720

20 май 2014, 13:36

Найти область сходимости функционального ряда

в форуме Ряды

D_Mi

3

221

21 дек 2021, 02:13

Найти область сходимости функционального ряда

в форуме Ряды

DannyO

5

658

29 ноя 2016, 16:29

Найти область сходимости функционального ряда

в форуме Интегральное исчисление

Nuust

1

170

29 ноя 2020, 17:43

Найти область сходимости функционального ряда

в форуме Ряды

snobbyzero

5

222

15 дек 2019, 16:00

Найти обл. сходимости функционального ряда, исслед на концах

в форуме Ряды

Antond1995

1

728

21 июн 2014, 14:01

Найти интервал сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

glushkov1994

1

380

30 янв 2015, 14:45

Найти интервал сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

tittotop

3

316

21 май 2015, 19:43


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved