Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
351w |
|
|
Подскажите, пожалуйста, с заданием. Подскажите какие признаки использовать при исследовании выше указанных рядов? |
||
Вернуться к началу | ||
351w |
|
|
Если я не ошибаюсь, то:
Пункт в) - признак Даламбера и ряд сходится. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
а) сравнение с рядом с [math]a_n=\frac{2 }{ n^2 }[/math] (сходится);
б) интегральный признак Коши для ряда с [math]a_n=\frac{ 1 }{ \sqrt[4]{a^3} }[/math] (расходится); в) действительно, по признаку Даламбера сходится. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: 351w |
||
Tantan |
|
|
[math]351w,[/math]
можно и так : а) по интегралному признаку Маклорену-Коши, так как [math]\int\limits_{1}^{ \infty }\frac{ \operatorname{arcctg}x }{ 1+x^2 } dx = \left.{ -\frac{ \operatorname{arcctg^2}x }{ 2 } }\right|_{ 1 }^{ \infty } = -\frac{ 1 }{ 2 } \lim_{x \to \infty } \operatorname{arcctg^2}x + \frac{ \operatorname{arcctg^2}(1) }{ 2 } =[/math] [math]= 0 +\frac{ 1 }{ 2 } \cdot (\frac{ \pi }{ 4 } )^2 =\frac{ \pi ^{2} }{ 32 }[/math] сходится [math]\Rightarrow[/math], что и рядь сходится ; б) [math]a_{n} = \frac{ \sqrt[4]{n^3} }{ \sqrt{n^3 + 1} }=\frac{ 1 }{ \sqrt[4]{n^3 + 6+\frac{ 9 }{ n^3 } } } > u_{n}= \frac{ 1 }{ n }[/math] , для [math]n> 3[/math], где [math]u_{n} -[/math] ,общий член гармонического ряда; в) [math]a_{n} = \frac{ n^2 +5}{ (n+2)! } \leqslant \frac{ n(n+1) }{ (n+2)! } = u_{n} = \frac{ 1 }{ (n-1)!(n+2) }[/math]( для [math]n \geqslant 5)[/math], а ряд с общим членом [math]u_{n}[/math] - сходящий. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали: 351w |
||
Avgust |
|
|
Хочу поделиться своими давними исследованиями третьего ряда. Общий вид
[math]S \, = \, \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+a}{(n+b)!}[/math] где [math]a\,\,[/math] и [math]b\,\,[/math] - целые положительные числа. Естественно, что ряд этот сходящийся. Но чему он равен? Это была домашняя работа моего сына (учился в математической школе). Одолели ее только общими усилиями. Не буду говорить о громоздких выкладках, покажу только конечную формулу и ее реализацию на компе. Ответ такой [math]S\, = \, \left [(b-1)^2+a+1 \right ]\cdot e - \frac{\left [(b-1)^2+a+1 \right ]\cdot \left (\sum\limits_{k=0}^b \frac{b!}{k!} \right )+b-2}{b!}[/math] Формула потрясающе красивая! Программа расчетов по ней: open #1,"prod.txt","w" for b=0 to 5 m=b a() bb=p for a=0 to 5 A=(b-1)^2+a+1 S=0 for k=0 to b m=k a() kk=p S=S+bb/kk next k B=A*S+b-2 print "a=";:print a;:print " b=";:print b;:print " "; print #1,"a=";:print #1,a;:print #1," b=";:print #1,b;:print #1," "; print "S = ";:print A ;:print "e - ";:print B ;:print "/";:print bb print #1,"S = ";:print #1,A ;:print #1," e - ";:print #1,B ;:print #1,"/";:print #1,bb next a print #1 next b sub a() p=1 for t=0 to m if t=0 then kk=1:fi if t>0 then kk=t:fi p=p*kk next t end sub Результаты расчетов: a=0 b=0 S = 2 e - 0/1 a=1 b=0 S = 3 e - 1/1 a=2 b=0 S = 4 e - 2/1 a=3 b=0 S = 5 e - 3/1 a=4 b=0 S = 6 e - 4/1 a=5 b=0 S = 7 e - 5/1 a=0 b=1 S = 1 e - 1/1 a=1 b=1 S = 2 e - 3/1 a=2 b=1 S = 3 e - 5/1 a=3 b=1 S = 4 e - 7/1 a=4 b=1 S = 5 e - 9/1 a=5 b=1 S = 6 e - 11/1 a=0 b=2 S = 2 e - 10/2 a=1 b=2 S = 3 e - 15/2 a=2 b=2 S = 4 e - 20/2 a=3 b=2 S = 5 e - 25/2 a=4 b=2 S = 6 e - 30/2 a=5 b=2 S = 7 e - 35/2 a=0 b=3 S = 5 e - 81/6 a=1 b=3 S = 6 e - 97/6 a=2 b=3 S = 7 e - 113/6 a=3 b=3 S = 8 e - 129/6 a=4 b=3 S = 9 e - 145/6 a=5 b=3 S = 10 e - 161/6 a=0 b=4 S = 10 e - 652/24 a=1 b=4 S = 11 e - 717/24 a=2 b=4 S = 12 e - 782/24 a=3 b=4 S = 13 e - 847/24 a=4 b=4 S = 14 e - 912/24 a=5 b=4 S = 15 e - 977/24 a=0 b=5 S = 17 e - 5545/120 a=1 b=5 S = 18 e - 5871/120 a=2 b=5 S = 19 e - 6197/120 a=3 b=5 S = 20 e - 6523/120 a=4 b=5 S = 21 e - 6849/120 a=5 b=5 S = 22 e - 7175/120 Вариант ТС выделен жирным шрифтом. Вольфрам дает тот же результат: https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%28%28n%5E2%2B5%29%2F%28n%2B2%29%21%2Cn%3D1..infty%29+ |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: 351w |
||
351w |
|
|
michel писал(а): а) сравнение с рядом с [math]a_n=\frac{2 }{ n^2 }[/math] (сходится); б) интегральный признак Коши для ряда с [math]a_n=\frac{ 1 }{ \sqrt[4]{a^3} }[/math] (расходится); в) действительно, по признаку Даламбера сходится. Для пункта а) можно, наверное, для сравнения взять ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{ 1 }{ n^{2} }[/math] (без двойки в числителе)?! |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Да, Вы правы. Я не заметил, что там стоит арккотангенс, показался арктангенс, для которого [math]\lim_{x \to \infty } arctgx=\frac{ \pi }{ 2 }[/math], поэтому и предложил с двойкой.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: 351w |
||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Исследовать на сходимость ряды
в форуме Ряды |
1 |
132 |
10 дек 2019, 22:00 |
|
Исследовать на сходимость ряды
в форуме Ряды |
2 |
203 |
04 ноя 2020, 23:10 |
|
Исследовать ряды на сходимость
в форуме Ряды |
5 |
266 |
12 апр 2018, 14:48 |
|
Исследовать на сходимость ряды
в форуме Ряды |
12 |
267 |
14 ноя 2019, 15:42 |
|
Исследовать на сходимость ряды
в форуме Ряды |
6 |
254 |
25 сен 2021, 10:19 |
|
Исследовать ряды на сходимость
в форуме Ряды |
20 |
1165 |
26 мар 2015, 22:19 |
|
Исследовать ряды на сходимость
в форуме Ряды |
13 |
800 |
17 июн 2015, 19:54 |
|
Исследовать на сходимость ряды
в форуме Ряды |
6 |
412 |
09 июн 2015, 22:35 |
|
Исследовать ряды на сходимость
в форуме Ряды |
3 |
403 |
12 ноя 2015, 19:23 |
|
Исследовать на сходимость ряды
в форуме Ряды |
5 |
515 |
11 дек 2019, 17:13 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |