Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследовать на сходимость ряды
СообщениеДобавлено: 21 янв 2020, 06:54 
В сети
Оракул
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 780
Cпасибо сказано: 178
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
Подскажите, пожалуйста, с заданием.
Изображение

Подскажите какие признаки использовать при исследовании выше указанных рядов?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость ряды
СообщениеДобавлено: 21 янв 2020, 06:56 
В сети
Оракул
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 780
Cпасибо сказано: 178
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если я не ошибаюсь, то:
Пункт в) - признак Даламбера и ряд сходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость ряды
СообщениеДобавлено: 21 янв 2020, 08:59 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 4838
Cпасибо сказано: 143
Спасибо получено:
1688 раз в 1568 сообщениях
Очков репутации: 239

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а) сравнение с рядом с [math]a_n=\frac{2 }{ n^2 }[/math] (сходится);
б) интегральный признак Коши для ряда с [math]a_n=\frac{ 1 }{ \sqrt[4]{a^3} }[/math] (расходится);
в) действительно, по признаку Даламбера сходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
351w
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость ряды
СообщениеДобавлено: 21 янв 2020, 12:30 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
703 раз в 678 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]351w,[/math]
можно и так :
а) по интегралному признаку Маклорену-Коши, так как [math]\int\limits_{1}^{ \infty }\frac{ \operatorname{arcctg}x }{ 1+x^2 } dx = \left.{ -\frac{ \operatorname{arcctg^2}x }{ 2 } }\right|_{ 1 }^{ \infty } = -\frac{ 1 }{ 2 } \lim_{x \to \infty } \operatorname{arcctg^2}x + \frac{ \operatorname{arcctg^2}(1) }{ 2 } =[/math]
[math]= 0 +\frac{ 1 }{ 2 } \cdot (\frac{ \pi }{ 4 } )^2 =\frac{ \pi ^{2} }{ 32 }[/math] сходится [math]\Rightarrow[/math], что и рядь сходится ;

б) [math]a_{n} = \frac{ \sqrt[4]{n^3} }{ \sqrt{n^3 + 1} }=\frac{ 1 }{ \sqrt[4]{n^3 + 6+\frac{ 9 }{ n^3 } } } > u_{n}= \frac{ 1 }{ n }[/math] , для [math]n> 3[/math], где [math]u_{n} -[/math] ,общий член гармонического ряда;

в) [math]a_{n} = \frac{ n^2 +5}{ (n+2)! } \leqslant \frac{ n(n+1) }{ (n+2)! } = u_{n} = \frac{ 1 }{ (n-1)!(n+2) }[/math]( для [math]n \geqslant 5)[/math], а ряд с общим членом [math]u_{n}[/math] - сходящий.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
351w
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость ряды
СообщениеДобавлено: 21 янв 2020, 22:05 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12291
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1054
Спасибо получено:
3454 раз в 3033 сообщениях
Очков репутации: 653

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хочу поделиться своими давними исследованиями третьего ряда. Общий вид

[math]S \, = \, \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+a}{(n+b)!}[/math]

где [math]a\,\,[/math] и [math]b\,\,[/math] - целые положительные числа.

Естественно, что ряд этот сходящийся. Но чему он равен? Это была домашняя работа моего сына (учился в математической школе). Одолели ее только общими усилиями. Не буду говорить о громоздких выкладках, покажу только конечную формулу и ее реализацию на компе. Ответ такой

[math]S\, = \, \left [(b-1)^2+a+1 \right ]\cdot e - \frac{\left [(b-1)^2+a+1 \right ]\cdot \left (\sum\limits_{k=0}^b \frac{b!}{k!} \right )+b-2}{b!}[/math]

Формула потрясающе красивая! Программа расчетов по ней:

open #1,"prod.txt","w"
for b=0 to 5
m=b
a()
bb=p
for a=0 to 5
A=(b-1)^2+a+1
S=0
for k=0 to b
m=k
a()
kk=p
S=S+bb/kk
next k
B=A*S+b-2
print "a=";:print a;:print " b=";:print b;:print " ";
print #1,"a=";:print #1,a;:print #1," b=";:print #1,b;:print #1," ";
print "S = ";:print A ;:print "e - ";:print B ;:print "/";:print bb
print #1,"S = ";:print #1,A ;:print #1," e - ";:print #1,B ;:print #1,"/";:print #1,bb
next a
print
print #1
next b

sub a()
p=1
for t=0 to m
if t=0 then kk=1:fi
if t>0 then kk=t:fi
p=p*kk
next t
end sub

Результаты расчетов:

a=0 b=0 S = 2 e - 0/1
a=1 b=0 S = 3 e - 1/1
a=2 b=0 S = 4 e - 2/1
a=3 b=0 S = 5 e - 3/1
a=4 b=0 S = 6 e - 4/1
a=5 b=0 S = 7 e - 5/1

a=0 b=1 S = 1 e - 1/1
a=1 b=1 S = 2 e - 3/1
a=2 b=1 S = 3 e - 5/1
a=3 b=1 S = 4 e - 7/1
a=4 b=1 S = 5 e - 9/1
a=5 b=1 S = 6 e - 11/1

a=0 b=2 S = 2 e - 10/2
a=1 b=2 S = 3 e - 15/2
a=2 b=2 S = 4 e - 20/2
a=3 b=2 S = 5 e - 25/2
a=4 b=2 S = 6 e - 30/2
a=5 b=2 S = 7 e - 35/2

a=0 b=3 S = 5 e - 81/6
a=1 b=3 S = 6 e - 97/6
a=2 b=3 S = 7 e - 113/6
a=3 b=3 S = 8 e - 129/6
a=4 b=3 S = 9 e - 145/6
a=5 b=3 S = 10 e - 161/6

a=0 b=4 S = 10 e - 652/24
a=1 b=4 S = 11 e - 717/24
a=2 b=4 S = 12 e - 782/24
a=3 b=4 S = 13 e - 847/24
a=4 b=4 S = 14 e - 912/24
a=5 b=4 S = 15 e - 977/24

a=0 b=5 S = 17 e - 5545/120
a=1 b=5 S = 18 e - 5871/120
a=2 b=5 S = 19 e - 6197/120
a=3 b=5 S = 20 e - 6523/120
a=4 b=5 S = 21 e - 6849/120
a=5 b=5 S = 22 e - 7175/120

Вариант ТС выделен жирным шрифтом. Вольфрам дает тот же результат:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%28%28n%5E2%2B5%29%2F%28n%2B2%29%21%2Cn%3D1..infty%29+

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
351w
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость ряды
СообщениеДобавлено: 22 янв 2020, 05:08 
В сети
Оракул
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 780
Cпасибо сказано: 178
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
а) сравнение с рядом с [math]a_n=\frac{2 }{ n^2 }[/math] (сходится);
б) интегральный признак Коши для ряда с [math]a_n=\frac{ 1 }{ \sqrt[4]{a^3} }[/math] (расходится);
в) действительно, по признаку Даламбера сходится.


Для пункта а) можно, наверное, для сравнения взять ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{ 1 }{ n^{2} }[/math] (без двойки в числителе)?!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость ряды
СообщениеДобавлено: 22 янв 2020, 13:32 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 4838
Cпасибо сказано: 143
Спасибо получено:
1688 раз в 1568 сообщениях
Очков репутации: 239

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, Вы правы. Я не заметил, что там стоит арккотангенс, показался арктангенс, для которого [math]\lim_{x \to \infty } arctgx=\frac{ \pi }{ 2 }[/math], поэтому и предложил с двойкой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
351w
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды

в форуме Ряды

Grits

4

1207

06 дек 2010, 10:58

Исследовать ряды на сходимость

в форуме Ряды

arrapato

3

308

01 ноя 2013, 12:13

Исследовать на сходимость ряды

в форуме Ряды

StrToInt

2

475

24 июн 2011, 13:50

Исследовать ряды на сходимость

в форуме Ряды

egorkovv

3

437

05 май 2013, 20:43

Исследовать ряды на сходимость

в форуме Ряды

volodik28

20

879

26 мар 2015, 22:19

Исследовать ряды на сходимость

в форуме Ряды

dtrump

4

215

29 сен 2018, 00:24

Исследовать ряды на сходимость

в форуме Ряды

fasgen

3

246

12 ноя 2015, 19:23

Исследовать на сходимость ряды

в форуме Ряды

chenn

4

418

29 май 2012, 07:36

Исследовать ряды на сходимость

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ryslannn

38

965

19 дек 2013, 22:38

Исследовать на сходимость ряды

в форуме Ряды

Rev0

7

527

26 май 2011, 00:46


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot], Yandex [bot] и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved