Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Область сходимости ряда
СообщениеДобавлено: 15 ноя 2019, 08:35 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
Подскажите, пожалуйста, дальнейшее решение:

При каких значениях "икс" ряд сходится:
Изображение

Подскажите, пожалуйста, какие признаки лучше использовать при исследовании сходимости ряда на концах найденного интервала?
(признак Даламбера "не прокатывает" ) .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Область сходимости ряда
СообщениеДобавлено: 15 ноя 2019, 09:47 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w
"С ходу", по-моему, можно утверждать только, что ни признак Даламбера, ни признак Коши не дают ответа на поставленный вопрос. Попробуйте применить признак Гаусса.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Область сходимости ряда
СообщениеДобавлено: 15 ноя 2019, 09:53 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
351w
"С ходу", по-моему, можно утверждать только, что ни признак Даламбера, ни признак Коши не дают ответа на поставленный вопрос. Попробуйте применить признак Гаусса.


"Пошел" искать признак Гаусса (в интернете)....

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Область сходимости ряда
СообщениеДобавлено: 15 ноя 2019, 10:57 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
351w
"С ходу", по-моему, можно утверждать только, что ни признак Даламбера, ни признак Коши не дают ответа на поставленный вопрос. Попробуйте применить признак Гаусса.


Что-то не получается у меня с признаком Гаусса.
Соотношение [math]\frac{ a_{n} }{ a_{n+1} }=1+\frac{ 6k }{ 4k^{2}+4k+1 }+\frac{ 5 }{ 4k^{2} +4k+1 }[/math] не получается получить в нужном виде:
Изображение

Попробую признак Раабе.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Область сходимости ряда
СообщениеДобавлено: 15 ноя 2019, 11:56 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w
Вы вольны действовать по-своему. Однако, при [math]x=1[/math] имеем, как я понимаю,
[math]\frac{a_k}{a_{k+1}}=\frac{2(k+1)(2k+3)}{(2k+1)^2}=\frac{(k+1) \left( k+\frac{3}{2} \right)}{\left( k+\frac{1}{2} \right)^2}=\frac{\left( 1+\frac{1}{k} \right) \left( 1+\frac{\frac{3}{2}}{k} \right)}{\left( 1+\frac{\frac{1}{2}}{k} \right)^2}.[/math]

При этом можно воспользоваться разложением
[math]\frac{1}{1+\frac{\alpha}{k}}=1-\frac{\alpha}{k}+\frac{\alpha^2}{1+\frac{\alpha}{k}} \frac{1}{k^2}.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Область сходимости ряда
СообщениеДобавлено: 15 ноя 2019, 12:00 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
351w
Вы вольны действовать по-своему. Однако, при [math]x=1[/math] имеем, как я понимаю,
[math]\frac{a_k}{a_{k+1}}=\frac{2(k+1)(2k+3)}{(2k+1)^2}=\frac{(k+1) \left( k+\frac{3}{2} \right)}{\left( k+\frac{1}{2} \right)^2}=\frac{\left( 1+\frac{1}{k} \right) \left( 1+\frac{\frac{3}{2}}{k} \right)}{\left( 1+\frac{\frac{1}{2}}{k} \right)^2}.[/math]

При этом можно воспользоваться разложением
[math]\frac{1}{1+\frac{\alpha}{k}}=1-\frac{\alpha}{k}+\frac{\alpha^2}{1+\frac{\alpha}{k}} \frac{1}{k^2}.[/math]


Спасибо, сейчас попробую получить такой же результат.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Область сходимости ряда
СообщениеДобавлено: 15 ноя 2019, 15:57 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Этот ряд ведет себя подобно ряду с общим членом [math]a_k=\frac{ 1 }{ \sqrt{k} }[/math] - расходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Область сходимости ряда
СообщениеДобавлено: 15 ноя 2019, 16:52 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Этот ряд ведет себя подобно ряду с общим членом [math]a_k=\frac{ 1 }{ \sqrt{k} }[/math] - расходится.



У меня получается, что он всё же сходится (рассматриваемый ряд, при "икс"=1).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Область сходимости ряда
СообщениеДобавлено: 15 ноя 2019, 18:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, действительно, сходится как ряд с общим членом [math]a_k=\frac{ 1 }{\sqrt{ k^3 } }[/math]. Все получается достаточно просто по формуле Стирлинга: [math]k! \sim \sqrt{2 \pi k} \cdot \left( \frac{ k }{ e } \right)^k[/math] (для больших значений [math]k[/math]). Выше просто забыл про множитель [math](2k+1)[/math] в знаменателе.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Область сходимости ряда

в форуме Ряды

351w

0

126

31 май 2020, 15:41

Область сходимости ряда.

в форуме Ряды

Teratore

10

566

08 окт 2017, 22:07

Область сходимости ряда

в форуме Ряды

katka_kis

0

222

28 май 2014, 19:56

Область сходимости ряда

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Sykes

4

171

06 авг 2021, 10:39

Область сходимости ряда

в форуме Ряды

genia2030

12

602

22 ноя 2017, 11:42

Область сходимости ряда

в форуме Ряды

tan_tan

4

270

26 окт 2014, 19:11

Область сходимости ряда

в форуме Ряды

351w

1

287

29 май 2018, 13:23

Область сходимости фун. ряда

в форуме Ряды

genia2030

8

635

07 янв 2018, 18:10

Область сходимости ряда

в форуме Ряды

351w

18

280

26 ноя 2020, 08:15

Область сходимости ряда

в форуме Ряды

Arsooha

1

146

18 май 2019, 00:15


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved