Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Оценка члена функционального ряда
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2019, 00:17 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 янв 2019, 16:13
Сообщений: 142
Cпасибо сказано: 71
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всем привет, проверяю на равномерную сходимость вот такой ряд:

[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{ ln^{n}x }{ n^{2} }[/math]

По коши доказал, что равномерной сходимости нет, подобрав последовательность вот такую:

[math]x_{n} = e^{n}[/math]

Но хочу ещё проверить на поточечную сходимость. Для этого делаю такую оценку:

[math]\forall x > 0, 0 \leqslant |u_{n}(x) |=\frac{ ln^{n}x }{ n^{2} } \leqslant \frac{ x^{n \varepsilon } }{ n^{2} }[/math]

пользуясь неравенством [math]x^{- \varepsilon } < ln(x) < x^{ \varepsilon }[/math]

А вот как дальше оценить, чтобы в числителе получить константу не получается придумать. Помогите пожалуйста, или если есть другой способ доказать, что поточечной сходимости нет, подскажите

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оценка членафункционального ряда
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2019, 01:56 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
04 май 2019, 20:14
Сообщений: 214
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
42 раз в 42 сообщениях
Очков репутации: 9

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
e7min писал(а):
По коши доказал, что равномерной сходимости нет, подобрав последовательность вот такую:
[math]x_n=e^n[/math]

Непонятно, что это значит.
e7min писал(а):
Но хочу ещё проверить на поточечную сходимость.

С поточечной и надо было начинать, чтобы определить область сходимости ряда, а потом уже проверять на равномерную для найденной области сходимости. Для поточечной сходимости можно попробовать признак Коши.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оценка членафункционального ряда
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2019, 02:49 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
04 май 2019, 20:14
Сообщений: 214
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
42 раз в 42 сообщениях
Очков репутации: 9

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
e7min, а вообще для каких значений x надо исследовать на равномерную сходимость? У вас в условии не указано.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оценка членафункционального ряда
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2019, 03:50 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 2845
Cпасибо сказано: 457
Спасибо получено:
812 раз в 696 сообщениях
Очков репутации: 136

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
e7min писал(а):



По коши доказал, что равномерной сходимости нет, подобрав последовательность вот такую:

[math]x_{n} = e^{n}[/math]



Область поточечной сходимости [math]\left[ \frac{ 1 }{ e },e \right][/math].
Посмотрите признак Вейерштрасса равномерной сходимости.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оценка члена функционального ряда
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2019, 15:52 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 янв 2019, 16:13
Сообщений: 142
Cпасибо сказано: 71
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
asahi
Для [math]x>0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оценка члена функционального ряда
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2019, 16:10 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 янв 2019, 16:13
Сообщений: 142
Cпасибо сказано: 71
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar
а как вы нашли такую область поточечной сходимости?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оценка члена функционального ряда
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2019, 17:11 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
04 май 2019, 20:14
Сообщений: 214
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
42 раз в 42 сообщениях
Очков репутации: 9

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
e7min писал(а):
Для x>0

Если для x>0, то здесь уже поточечной сходимости не будет - область сходимости вам уже написал venjar, для остальных значений ряд расходится. Если же исследовать на равномерную сходимость только на отрезке [math][\frac{1}{e},e][/math], то ряд здесь сходится равномерно о чем выше тоже написал venjar.
e7min писал(а):
а как вы нашли такую область поточечной сходимости?

Можно использовать признак Коши. Или еще можно рассмотреть отдельно случай [math]|ln x|>1[/math] и проверить необходимый признак сходимости, и отдельно случай [math]|ln x| \leqslant 1[/math] и оценить выражение под рядом. Вообще, если сделать замену t=ln x, то получим степенной ряд. Можете почитать про область сходимости степенного ряда и про его равномерную сходимость.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Деление последующего члена ряда на предыдущий член ряда

в форуме Ряды

Newbie_MTF

3

118

30 сен 2017, 09:20

Формула n-го члена ряда

в форуме Ряды

yaln

7

356

09 июн 2015, 08:28

Формула общего члена ряда (ряд Тейлора)

в форуме Ряды

Tuxedomask

1

200

18 окт 2017, 22:51

Записать формулу общего члена ряда

в форуме Ряды

Ryslannn

10

279

14 ноя 2017, 10:27

Порядок убывания общего члена ряда

в форуме Ряды

e7min

2

88

10 сен 2019, 20:11

Найти первые четыре члена ряда

в форуме Ряды

Ryslannn

13

343

14 ноя 2017, 15:51

Найти первые четыре члена ряда

в форуме Ряды

Ryslannn

5

221

11 дек 2017, 12:07

Сходимость функционального ряда

в форуме Ряды

magicwand

9

443

05 янв 2014, 16:05

Сходимость функционального ряда

в форуме Ряды

Liza-1995

7

364

06 дек 2013, 22:45

Вывести X из функционального ряда

в форуме Ряды

nollin

6

192

12 авг 2019, 14:18


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved