Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 47 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Расходимость числового ряда по Коши
СообщениеДобавлено: 06 сен 2019, 11:14 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 янв 2019, 16:13
Сообщений: 144
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всем привет, в сборнике Демидовича есть такая задача
Доказать по критерию Коши расходимость такого ряда:

[math]1 + \frac{ 1 }{ 2 } - \frac{ 1 }{ 3 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 5 } - \frac{ 1 }{ 6 } ...[/math]

Как обычно написал отрицание критерия Коши, но столкнулся с тем, что не могу написать формулу общего члена чтобы начать доказывать. Пробовал по-разному, потом поискал в антидемидовиче и нашёл вот такое решение:

Цитата:
Поскольку
[math]S_{6n} - S_{3n} = \frac{ 1 }{ 3n+1 } + \frac{ 1 }{ 3n+2 } - \frac{ 1 }{ 3n+3 } + ... + \frac{ 1 }{ 6n-2 } + \frac{ 1 }{ 6n-1 } - \frac{ 1 }{ 6n }[/math], где [math]S_{6n}, S_{3n}[/math] - подпоследовательности последовательности частичных сумм данного ряда, то
[math]S_{6n} - S_{3n} > \frac{ 1 }{ 3n+1 } +\frac{ 1 }{ 3n+4 } + ... + \frac{ 1 }{ 6n-2 } > \frac{ n }{ 6n-2 } > \frac{ 1 }{ 6 }[/math]
Поэтому согласно критерию Коши ряд расходится


Объясните пожалуйста, почему мы можем перейти к рассмотрению подпоследовательностей последоательности частичных сумм и как это сделали?


Последний раз редактировалось Andy 06 сен 2019, 14:16, всего редактировалось 1 раз.
Текст сообщения изменён модератором.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расходимость числового ряда по Коши
СообщениеДобавлено: 06 сен 2019, 11:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 19454
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1454
Спасибо получено:
4128 раз в 3839 сообщениях
Очков репутации: 741

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
e7min
Вы хотите разобраться, как вывести формулу общего члена ряда, или разобраться с имеющимся решением задачи?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расходимость числового ряда по Коши
СообщениеДобавлено: 06 сен 2019, 11:52 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 2493
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
430 раз в 400 сообщениях
Очков репутации: 46

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По критерию Коши рассматриваются суммы достаточно далёких от начала отрезков ряда. Они должны стремиться к нулю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расходимость числового ряда по Коши
СообщениеДобавлено: 06 сен 2019, 11:59 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 19454
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1454
Спасибо получено:
4128 раз в 3839 сообщениях
Очков репутации: 741

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48
Booker48 писал(а):
По критерию Коши рассматриваются суммы достаточно далёких от начала отрезков ряда. Они должны стремиться к нулю.

Частичные суммы должны стремиться к нулю?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расходимость числового ряда по Коши
СообщениеДобавлено: 06 сен 2019, 12:08 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 2493
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
430 раз в 400 сообщениях
Очков репутации: 46

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет, не частичные. Начиная, с какого-то достаточно большого номера.
В данном случае выясняется, что для любого сколь угодно большого [math]n[/math] сумма отрезка ряда[math]\sum\limits_{i=3n}^{6n}a_i > \frac{1}{6}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расходимость числового ряда по Коши
СообщениеДобавлено: 06 сен 2019, 12:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 19454
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1454
Спасибо получено:
4128 раз в 3839 сообщениях
Очков репутации: 741

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48
Вы можете сообщить используемую Вами формулировку критерия Коши?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расходимость числового ряда по Коши
СообщениеДобавлено: 06 сен 2019, 12:16 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 2493
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
430 раз в 400 сообщениях
Очков репутации: 46

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расходимость числового ряда по Коши
СообщениеДобавлено: 06 сен 2019, 14:07 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 19454
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1454
Спасибо получено:
4128 раз в 3839 сообщениях
Очков репутации: 741

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48
И как это утверждение:
Booker48 писал(а):
В данном случае выясняется, что для любого сколь угодно большого [math]n[/math] сумма отрезка ряда[math]\sum\limits_{i=3n}^{6n}a_i > \frac{1}{6}[/math].

нужно понимать в контексте обозначений той формулировки критерия Коши, на которую Вы сослались? К тому же видно, что авторы решения использовали критерий Коши в другой формулировке. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расходимость числового ряда по Коши
СообщениеДобавлено: 06 сен 2019, 14:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 6013
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
951 раз в 902 сообщениях
Очков репутации: 170

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мы можем из нашего ряда выкинуть две трети членов и рассмотреть сходимость ряда [math]1+1 \slash 4+1 \slash 7+1 \slash 10+...[/math] . Если он расходится, то и наш исходный ряд расходится. Предположим, что он сходится. Тогда сходятся и ряды [math]1 \slash 2+1 \slash 5+1 \slash 8+...[/math] и [math]1 \slash 3+1 \slash 6+1 \slash 9+...[/math] . Но сумма этих трёх рядов - гармонический ряд - расходится. Противоречие.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
e7min
 Заголовок сообщения: Re: Расходимость числового ряда по Коши
СообщениеДобавлено: 06 сен 2019, 14:13 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 19454
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1454
Спасибо получено:
4128 раз в 3839 сообщениях
Очков репутации: 741

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
searcher писал(а):
Мы можем из нашего ряда выкинуть две трети членов и рассмотреть сходимость ряда [math]1+1 \slash 4+1 \slash 7+1 \slash 10+...[/math] . Если он расходится, то и наш исходный ряд расходится. Предположим, что он сходится. Тогда сходятся и ряды [math]1 \slash 2+1 \slash 5+1 \slash 8+...[/math] и [math]1 \slash 3+1 \slash 6+1 \slash 9+...[/math] . Но сумма этих трёх рядов - гармонический ряд - расходится. Противоречие.

Вы рассматриваете знакочередующийся ряд?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.  Страница 1 из 5 [ Сообщений: 47 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать на сходимость или расходимость числового ряда

в форуме Ряды

blackvg95

5

638

29 май 2013, 21:05

Сумма ряда - суммирование числового ряда

в форуме Ряды

mariya

2

1153

20 июн 2010, 14:37

Расходимость ряда

в форуме Ряды

Sever

1

228

08 мар 2018, 04:03

Расходимость ряда

в форуме Ряды

adssfcs

2

51

09 ноя 2019, 20:30

Расходимость ряда

в форуме Ряды

Sever

16

283

03 окт 2018, 03:45

Расходимость ряда 1/5

в форуме Ряды

f3b4c9083ba91

6

248

01 окт 2011, 11:35

Доказать расходимость ряда

в форуме Ряды

nastyaterebova

3

197

26 май 2015, 20:04

Сходимость Ряда или Расходимость

в форуме Ряды

neeara

4

190

27 окт 2017, 15:35

Доказать расходимость ряда

в форуме Ряды

nastyaterebova

3

224

02 июн 2015, 15:41

Доказать расходимость ряда

в форуме Ряды

youi

3

153

08 окт 2016, 14:10


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved