Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти сумму функционального ряда
СообщениеДобавлено: 13 июн 2019, 17:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 июн 2019, 15:28
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дан ряд.

[math]{\frac{1}{1*2}} - {\frac{1}{2*3}} + {\frac{1}{3*4}} - {\frac{1}{4*5}} + ... = \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}}[/math]

Естественно, если бы у нас был не функциональный ряд, то можно было бы расписать ряд на сумму (разность) двух рядов и в дальнейшем найти сумму. В данном случае здесь степенной ряд.

Я читал что можно применить интегрирование и преобразовать вид данного ряда. Но, к сожалению у меня получался какой-то бред.

Может кто-нибудь дать совет по решению данной задачи?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму функционального ряда
СообщениеДобавлено: 13 июн 2019, 17:32 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1386
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
295 раз в 250 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
liefasm писал(а):
Естественно, если бы у нас был не функциональный ряд, то можно было бы расписать ряд на сумму (разность) двух рядов и в дальнейшем найти сумму.
liefasm
Вот и распишите, потому что это не функциональный, а числовой ряд. И потрудитесь изменить заголовок.
liefasm писал(а):
В данном случае здесь степенной ряд.
Ничего похожего.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Gagarin "Спасибо" сказали:
liefasm
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму функционального ряда
СообщениеДобавлено: 13 июн 2019, 18:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 июн 2019, 15:28
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Правильно ли я мыслю?

[math]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}}
= \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n} * \frac{(-1) + n - n}{n(n+1)}}
= \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n} * \frac{-(n+1) + n}{n(n+1)}}
= \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n} * (-(n+1))}{n(n+1)}} + \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n} * n}{n(n+1)}}
= - \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n}} + \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n+1}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму функционального ряда
СообщениеДобавлено: 13 июн 2019, 18:57 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 4420
Cпасибо сказано: 133
Спасибо получено:
1554 раз в 1438 сообщениях
Очков репутации: 220

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, верно, но можно попроще записать эту сумму: [math]S=1-2\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{ (-1)^n }{ n+1 }[/math]. Чтобы закончить решение, достаточно вспомнить стандартный ряд [math]ln2=1-\frac{ 1 }{ 2 } +\frac{ 1 }{3 }-...[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
liefasm
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму функционального ряда
СообщениеДобавлено: 13 июн 2019, 19:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 июн 2019, 15:28
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А как Вы получили 1 - 2?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму функционального ряда
СообщениеДобавлено: 13 июн 2019, 19:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 4420
Cпасибо сказано: 133
Спасибо получено:
1554 раз в 1438 сообщениях
Очков репутации: 220

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
liefasm писал(а):
А как Вы получили 1 - 2?

Вы можете писать яснее? Хотя понятно, что Вы хотели спросить. Раскройте первые слагаемые исходного ряда и Вы увидите: [math]S=\left( 1-\frac{ 1 }{ 2 } \right) -\left( \frac{ 1 }{ 2 }-\frac{ 1 }{ 3 } \right) +\left( \frac{ 1 }{ 3 }-\frac{ 1 }{ 4} \right) -...=1-\frac{ 1 }{ 2 }-\frac{ 1 }{ 2 }+\frac{ 1 }{ 3 }+\frac{ 1 }{ 3 }-...[/math]
Ещё можно заметить, что [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{(-1)^n }{ n+1 } =-\sum\limits_{n=2}^{ \infty }\frac{(-1)^n }{ n }[/math], т.е. у Вас складываются две одинаковые суммы, которые отличаются только одним членом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
liefasm
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму функционального ряда
СообщениеДобавлено: 13 июн 2019, 20:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 июн 2019, 15:28
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В ответе получается [math]2*ln{2}-1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму функционального ряда
СообщениеДобавлено: 13 июн 2019, 21:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 июн 2019, 15:28
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всем спасибо за помощь. Тему можно закрывать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти сумму функционального ряда

в форуме Ряды

ExtreMaLLlka

2

957

09 янв 2016, 03:01

найти сумму функционального ряда

в форуме Ряды

Stolzes

1

926

10 дек 2011, 11:01

Найти сумму функционального ряда

в форуме Ряды

Mikhail_2017

9

797

17 май 2017, 11:35

Найти сумму функционального ряда

в форуме Ряды

StrToInt

11

1724

05 июн 2011, 14:57

Найти сумму функционального ряда

в форуме Ряды

Maik

4

645

14 май 2017, 00:06

Как найти сумму функционального ряда x^n/[n(n+1)]?

в форуме Ряды

Magret

2

8601

22 сен 2010, 23:15

Как найти сумму функционального ряда ? Помогите, пожалуйста

в форуме Ряды

mari

1

1325

29 апр 2010, 00:45

Вычислить сумму функционального ряда от 0 до бесконечности

в форуме Ряды

bashkatova2

3

782

03 янв 2012, 17:22

Найти область сходимости функционального ряда

в форуме Ряды

4ifrovik

8

567

09 дек 2011, 18:45

Найти область сходимости функционального ряда

в форуме Ряды

pro100bantik

2

365

20 май 2014, 13:36


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: searcher и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved