Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 14 янв 2019, 14:10 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1752
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 130
Спасибо получено:
595 раз в 479 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемые форумчане!
Почитываю книжку по функциональному анализу за авторством Босса, и наткнулся на такое его утверждение, что ряд

[math]\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{\sin{(kx)}}{\ln{k}}[/math]

сходится к некоторой функции [math]f(x)[/math] при любом [math]x[/math]. Может я что-то не понимаю, но этот ряд ведь расходится?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 14 янв 2019, 14:29 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Признак Дирихле

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 14 янв 2019, 17:08 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1752
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 130
Спасибо получено:
595 раз в 479 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan

что-то я все равно не понимаю. По признаку Дирихле последовательность [math]a_k=\frac{1}{\ln{k}}[/math] монотонно убывает, а последовательность частичных сумм [math]\sum\limits_{k=2}^{\infty}\sin{(kx)}[/math] нет. Я ее считаю так:

[math]S_n=\sum\limits_{k=2}^{n}\sin{(kx)}=\text{Im}\left(\sum\limits_{k=0}^{n}e^{ikx}\right)-\sin{x}=\left\{\begin{array}{ll}\text{Im}\left(\dfrac{1-e^{ixn}}{1-e^{ix}}\right)-\sin{x},x\ne \dfrac{\pi}{2}\pm m\pi\\ \pm n,x=\dfrac{\pi}{2}\pm m\pi\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{\cos{(0.5x)}-\cos{(xn+0.5x)}}{\sin{0.5x}}-\sin{x},x\ne \dfrac{\pi}{2}\pm m\pi\\ \pm n,x=\dfrac{\pi}{2}\pm m\pi\end{array}\right.[/math]

В общем случае получается, что последовательность частичных сумм не ограничена при [math]x=\dfrac{\pi}{2}\pm m\pi[/math]. Или я как-то не правильно считаю или понимаю?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 14 янв 2019, 17:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну можно же при x=pi/2 синусы явно выписать: 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, ...
Где здесь неограниченность частичных сумм?
Да и вообще непонятно, зачем pi/2 выделять. Особенность только при x=2pi*k вылезает.


Последний раз редактировалось swan 14 янв 2019, 17:22, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
lexus666
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 14 янв 2019, 17:21 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1752
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 130
Спасибо получено:
595 раз в 479 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну да... при [math]x=0.5\pi\pm m\pi[/math] не верно посчитал...
Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 14 янв 2019, 17:25 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1752
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 130
Спасибо получено:
595 раз в 479 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Да и вообще непонятно, зачем pi/2 выделять. Особенность только при x=2pi*k вылезает.


не понял, какая тут особенность будет? как может аргумент меняться в зависиомсти от к? [math]0.5\pi[/math] выделять чтоб посчитать сумму ряда, нет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сходимость ряда

в форуме Ряды

tanyhaftv

5

269

26 ноя 2018, 19:56

Сходимость ряда

в форуме Ряды

honey

4

183

30 сен 2020, 16:43

Сходимость ряда

в форуме Ряды

Maik

1

186

11 май 2022, 23:11

Сходимость ряда

в форуме Ряды

margo1992

1

313

28 май 2014, 20:52

Сходимость ряда

в форуме Ряды

Dasha138

2

295

05 июн 2015, 08:59

Сходимость ряда

в форуме Ряды

Merhaba

4

484

28 май 2014, 16:03

Сходимость ряда

в форуме Ряды

God_mode_2016

7

321

30 сен 2017, 19:54

Сходимость ряда

в форуме Ряды

margo1992

16

726

27 май 2014, 14:55

Сходимость ряда

в форуме Ряды

umka1989umka

2

181

13 авг 2017, 18:07

Сходимость ряда

в форуме Ряды

Vasya1

8

593

22 май 2014, 10:10


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved