Найти сумму ряда

Здравствуйте, вопрос, делаю номер где нужно найти сумму ряда и получается такая картина что я попробовал Sn-ое расписать два раза, сначала "побольше" членов расписал, вроде всё хорошо, но ответ не сходится, в ответе S = 1/4, а у меня в первом случае выходит если брать предел до бесконечности то выходит S = -1/3, а во втором случае даже не понятно что зачёркивается 1/8 и -1/(n+1) либо 1/10 и -1/(n+1) и даже если мы "наугад" зачеркнём одно из них, мы получим S = 1/10 либо S = 1/8, что тоже не сходится Помогите пожалуйста разобраться

[math]\frac{1}{n+1} = \frac{1}{2(n+1)} + \frac{1}{2(n+1)}[/math]
Дальше понятно?

Вроде понял, попробую дальше решать
Хорошо, в следующий раз буду грузить картинки аккуратнее )))
Ещё общий вопрос (для меня вопрос века), каким вот образом вы понимаете сколько расписывать вначале и конце членов? Я вот сижу расписываю чото сокращается что то нет и без определённого алгоритма

Вам для чего дали указание [math]\frac1{n+1}=\frac1{2(n+1)}+\frac1{2(n+1)}[/math]?
Чтобы [math]a_n[/math] записать суммой не трёх дробей а двух однотипных пар дробей.
Тогда сокращения становятся совершенно очевидными.

Ну я не знаю, а как здесь может две пары получится, тут ни как не получится чего нибудь придумать
[math]a_{n}=\frac{ 1 }{ 2n } - \frac{ 1 }{ n+1 } + \frac{ 1 }{ 2(n+2) }=\frac{ 1 }{ 2 }(\frac{ 1 }{ n }-\frac{ 1 }{ n+1 }-\frac{ 1 }{ n+1 }+\frac{ 1 }{ n+2 } )[/math]

или хотя сек, я понял

Ура ура я увидел закономерность, ну потом если взять предел то как раз и выходит 1/4, вдруг кому будет интересно :

P.S. 1/30 типа тоже сократится только с n-1 ым членом
ОГРОМНЕЙШЕЕ ВАМ СПАСИБО ❤❤❤