Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти область сходимости
СообщениеДобавлено: 24 май 2011, 12:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 ноя 2010, 00:21
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sum^\infty_{n=1} { \left ({1 + \frac {4} {n}} \right)^n e^{n(x^2-4)+x\sqrt {n}}}[/math]

Я решала по Даламберу. Получила предел, равный [math]e^{|4-x^2|}[/math]. По условию сходимости, это должно быть <1. Но в результате решения этого неравенства интервала не получилось - после раскрытия модуля:
- в пером случае [math](\infty ; -2)\cup(2; \infty)[/math]
- во втором [math](-2; 2)[/math]
Общего интервала нет... :( разве что эти две точки проверить, при которых, кстати ряд расходится.
Не могу найти ошибку, понять что не так :(
Может вообще решать по-другому надо??

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти область сходимости
СообщениеДобавлено: 24 май 2011, 12:21 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а каким образом вы засунули модуль в степень? по признаку Даламбера:
[math]\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1[/math]
а экспонента, как и любая показательная функция положительна при любой степени, т.е. за знак модуля просто выносится, как число.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти область сходимости
СообщениеДобавлено: 24 май 2011, 12:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 ноя 2010, 00:21
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math
я тут видимо что-то не догоняю...
тогда получается, что степень будет без модуля, и результат [math](\infty; -2)\cup(2;\infty)[/math]??

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти область сходимости
СообщениеДобавлено: 24 май 2011, 12:45 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
это я не догоняю. на основании каких рассуждений вы получили [math]e^{|4-x^2|}[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
addiction
 Заголовок сообщения: Re: Найти область сходимости
СообщениеДобавлено: 24 май 2011, 13:06 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 янв 2011, 20:52
Сообщений: 373
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
212 раз в 159 сообщениях
Очков репутации: 90

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня получается так:

[math]\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac{4}{n+1}\right)^{n+1}e^{(n+1)\left(x^2-4 \right)+x\sqrt{n+1}}}{\left(1+\frac{4}{n}\right)^ne^{n\left(x^2-4 \right)+x\sqrt{n}}}&=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac{4}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{4}{n}\right)^n}\cdot\frac{e^{(n+1)\left(x^2-4 \right)}e^{x\sqrt{n+1}}}{e^{n\left(x^2-4\right)}e^{x\sqrt{n}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac{4}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{4}{n}\right)^n} e^{\left(x^2-4\right)}\left(e^{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\right)^x=\\&=e^{\left(x^2-4 \right)}\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac{4}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{4}{n}\right)^n}\left(e^\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \right )^x=e^{\left( x^2-4\right)}\frac{e^4}{e^4}\left(e^\frac{1}{\infty+\infty}\right)^x=\\&=e^{x^2-4}\end{aligned}\\[/math]

[math]e^{x^2-4}>0[/math], значит модуль не нужен. Признак Даламбера говорит, что [math]e^{x^2-4}<1[/math], откуда [math]x^2-4<0[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]x^2<4[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]|x|<2[/math], что то же самое, что [math]-2<x<2[/math]. Дальше исследуйте ряд на концах этого интервала.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Minotaur "Спасибо" сказали:
addiction, mad_math, natus
 Заголовок сообщения: Re: Найти область сходимости
СообщениеДобавлено: 24 май 2011, 13:37 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 ноя 2010, 00:21
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math
:pardon: я дебил, не там написала, бывает :)
Minotaur
все! я поняла... я по привычке (n+1)ый в знаменатель засунула, как для дроби, вот у меня и получилось то, что получилось :D1

Спасибо :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти область сходимости
СообщениеДобавлено: 24 май 2011, 14:35 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
addiction, вот я так и подумала, что вы просто по привычке... :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти область сходимости

в форуме Ряды

Zeninaan

1

455

22 мар 2016, 21:13

Найти область сходимости

в форуме Ряды

salainenkappale

0

333

28 окт 2014, 18:46

Найти область сходимости

в форуме Ряды

l_taksebematematik_

1

193

11 июн 2022, 01:27

Найти область сходимости

в форуме Ряды

Ekaterina_9_9

6

442

01 июн 2018, 11:26

Найти область сходимости

в форуме Ряды

Arno

10

694

08 дек 2015, 19:06

Найти область сходимости

в форуме Ряды

photographer

4

439

27 мар 2015, 17:08

Найти область сходимости

в форуме Ряды

photographer

2

676

08 янв 2018, 21:39

Найти область сходимости

в форуме Ряды

351w

19

1356

31 дек 2017, 23:23

Найти область сходимости ряда

в форуме Ряды

youi

1

214

19 мар 2017, 13:32

Найти область сходимости ряда

в форуме Ряды

EGORall

18

393

27 апр 2020, 03:12


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved