Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 17 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
DYITor |
|
|
Вот читаю, что ряд Маклорена - это разновидность ряда Тейлора в x0=0, ну то есть это ряд Тейлора в нуле. Сразу же в учебнике идёт пример применения рядов для вычисления приближенных значений функций. Показывают как вычислить значение sin(18) с точностью до 0,001. Для этого раскладывают sin(18) в ряд Маклорена. И тут у меня затык - почему? Если бы мы искали sin(0) - то да, ряд Маклорена тут применим, но ведь мы ищем sin(18) - тут только ряд Тейлора имеем право использовать. Объясните пожалуйста. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Синус нуля искать не надо. Он и так известен. А вот для вычисления синуса околоноля как раз таки ряд Маклорена и нужен.
|
||
Вернуться к началу | ||
DYITor |
|
|
Не понял. Надо найти синус 18 градусов. Имеется ввиду, что 18 градусов - это около нуля?
Тогда вопрос в том, где заканчивается окол нуля? Ведь по идее чем больший окол мы берём - тем меньшую точность показывает разложение, так? |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Есть такое понятие как радиус сходимости.
|
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
[math]DYITor,[/math]
1) Кроме такие понятия - развитие ф-ии в ряд Тейлора в окрестности какая то т. [math]a[/math] или развитие ее в ряд Маклорена в окрестности т. [math]0[/math], есть есчо и понятие форма остаточного члена [math]- R_{n}[/math] ( формы Лагранжа и Коши - эти саммые популярные, есть и другие формы остаточного члена); 2) Есть и такая теорема : "Для того что бы ф-я была развиваемая в ряд Тейлора( в ряд Маклорена) в окрестности т. [math]a,[/math] (в окрестности т. [math]0,[/math]) при [math]x = a + h[/math] (при [math]x = h[/math]) необходимо и достаточно, остаточны член[math]- R_{n}[/math], при так выбранных стойностях [math]a, h[/math], клонить к нуля!"; Так что то какая форма разложения ф-ии в ряд выберете - Тейлора или Маклорена зависить только от того в какая Вам удобно работать и найти граница остаточного члена и убедиться, что она [math]= 0.[/math] А что касаеться радиуса сходимости ф-ии [math]\sin{x}[/math] , то она разложима в ряд Тейлора для каждого [math]a \in (-\infty, + \infty ) .[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
DYITor |
|
|
Ок, попробую сформулировать своими словами:
1) Чтобы приближенно посчитать функцию в точке а можно разложить её в ряд Тейлора. При этом надо убедиться, что данная точка находится в области сходимости данного разложения. То есть разложить функцию можно в любой точке, но интересующая нас точка а должна находиться в области сходимости - лишь в этом случае с помощью ряда Тейлора можно приближенно посчитать значение функции в точке а. 2) Можно использовать более простое разложение в ряд Маклорена (ну то есть в окрестности нуля), если интересующая нас точка находится в области сходимости разложения в окрестности нуля. Для функции sin область сходимости разложения в ряд Маклорена - от минус бесконечности до плюс бесконечности. Потому мы можем его применять для для любой точки. Я всё верно описал? ПС: вроде ряд Маклорена проще, но графически его представить не получается - воспринимается как какая-то магия |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Не всё так гладко. На самом деле, ряд Тейлора/Маклорена может существовать и даже сходиться, но значение суммы ряда не будет равно значению функции. Например,
[math]f(x) = e^{-1\slash x^2}[/math] доопределенная по непрерывности f(0)=0 |
||
Вернуться к началу | ||
DYITor |
|
|
Оу, а что делать в таком случае? Пробовать разложить во что-то другое? Если да - то какие ещё варианты существуют?
|
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Для разложения в ряд Тейлора (отличный от маклореновского) [math]sin(18^o)[/math]надо иметь в распоряжении какие-то точные значения синусов ближайших углов - таковым является [math]sin(15^o)[/math]. Кстати, [math]sin(18^o)[/math] вычисляется точно без всяких там Маклоренов и Тейлоров - это известная школьная задача!
|
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
DYITor писал(а): Пробовать разложить во что-то другое? Если да - то какие ещё варианты существуют? На самом деле разложение ф-ии в рядом( было то Тейлора или Маклорена) это не для нахождение точного значения ф-ии, а для приближенного с достаточной точности, а большая точность получаеться когда брать больше членов ряда! А то что писал [math]swan[/math] о функции [math]f(x) = e^{-\frac{ 1 }{ x^{2} } }[/math] , доопределенная в т.0 как [math]f(0) = 0[/math] и саммого этого означаеть - если брать достаточно малого [math]h[/math] и в зависимости от [math]h[/math], достаточном число членов ряда то получим и скол угодно близкая к нуля стойност ф-ии через сумму ряда! |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 17 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Разложить в ряд Тейлора (Маклорена)
в форуме Ряды |
1 |
216 |
09 дек 2018, 07:15 |
|
Разложить функцию за формулой Тейлора и Маклорена | 2 |
356 |
09 янв 2021, 22:31 |
|
Найти границы заданных функций. Формула Тейлора и Маклорена
в форуме Дифференциальное исчисление |
3 |
297 |
30 апр 2018, 20:41 |
|
Сворачивание ряда Маклорена
в форуме Ряды |
4 |
475 |
03 фев 2015, 11:45 |
|
Выражение для ряда Тейлора
в форуме Ряды |
6 |
487 |
03 июн 2016, 13:20 |
|
Формула общего члена ряда (ряд Тейлора)
в форуме Ряды |
1 |
478 |
18 окт 2017, 22:51 |
|
Рекуррентная формула с двойным факториалом для ряда Тейлора
в форуме Ряды |
3 |
987 |
20 ноя 2017, 13:25 |
|
Изобразить функцию f(z) в виде ряда Тейлора за степенями Z-Z | 1 |
176 |
27 дек 2020, 05:14 |
|
Найти три первых члена ряда Тейлора для функции
в форуме Ряды |
5 |
732 |
18 май 2014, 17:50 |
|
Найти сумму первых трех членов ряда Тейлора
в форуме Ряды |
19 |
669 |
19 июл 2018, 15:23 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |