Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Ряд Тейлора против ряда Маклорена - особенности применения
СообщениеДобавлено: 17 авг 2018, 14:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 май 2018, 18:16
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите разобраться с Рядами Тейлора и Маклорена.
Вот читаю, что ряд Маклорена - это разновидность ряда Тейлора в x0=0, ну то есть это ряд Тейлора в нуле.
Сразу же в учебнике идёт пример применения рядов для вычисления приближенных значений функций.
Показывают как вычислить значение sin(18) с точностью до 0,001.
Для этого раскладывают sin(18) в ряд Маклорена.
И тут у меня затык - почему? Если бы мы искали sin(0) - то да, ряд Маклорена тут применим, но ведь мы ищем sin(18) - тут только ряд Тейлора имеем право использовать.
Объясните пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд Тейлора против ряда Маклорена - особенности применения
СообщениеДобавлено: 17 авг 2018, 14:48 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Синус нуля искать не надо. Он и так известен. А вот для вычисления синуса околоноля как раз таки ряд Маклорена и нужен.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд Тейлора против ряда Маклорена - особенности применения
СообщениеДобавлено: 17 авг 2018, 14:53 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 май 2018, 18:16
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не понял. Надо найти синус 18 градусов. Имеется ввиду, что 18 градусов - это около нуля?
Тогда вопрос в том, где заканчивается окол нуля?
Ведь по идее чем больший окол мы берём - тем меньшую точность показывает разложение, так?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд Тейлора против ряда Маклорена - особенности применения
СообщениеДобавлено: 17 авг 2018, 15:17 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть такое понятие как радиус сходимости.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд Тейлора против ряда Маклорена - особенности применения
СообщениеДобавлено: 17 авг 2018, 16:39 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]DYITor,[/math]
1) Кроме такие понятия - развитие ф-ии в ряд Тейлора в окрестности какая то т. [math]a[/math] или развитие ее в ряд Маклорена в окрестности т. [math]0[/math], есть есчо и понятие форма остаточного члена [math]- R_{n}[/math] ( формы Лагранжа и Коши - эти саммые популярные, есть и другие формы остаточного члена);
2) Есть и такая теорема : "Для того что бы ф-я была развиваемая в ряд Тейлора( в ряд Маклорена) в окрестности т. [math]a,[/math] (в окрестности т. [math]0,[/math]) при [math]x = a + h[/math] (при [math]x = h[/math]) необходимо и достаточно, остаточны член[math]- R_{n}[/math], при так выбранных стойностях [math]a, h[/math], клонить к нуля!";
Так что то какая форма разложения ф-ии в ряд выберете - Тейлора или Маклорена зависить только от того в какая Вам удобно работать и найти граница остаточного члена и убедиться, что она [math]= 0.[/math]
А что касаеться радиуса сходимости ф-ии [math]\sin{x}[/math] , то она разложима в ряд Тейлора для каждого [math]a \in (-\infty, + \infty ) .[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд Тейлора против ряда Маклорена - особенности применения
СообщениеДобавлено: 17 авг 2018, 16:59 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 май 2018, 18:16
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ок, попробую сформулировать своими словами:

1) Чтобы приближенно посчитать функцию в точке а можно разложить её в ряд Тейлора. При этом надо убедиться, что данная точка находится в области сходимости данного разложения. То есть разложить функцию можно в любой точке, но интересующая нас точка а должна находиться в области сходимости - лишь в этом случае с помощью ряда Тейлора можно приближенно посчитать значение функции в точке а.

2) Можно использовать более простое разложение в ряд Маклорена (ну то есть в окрестности нуля), если интересующая нас точка находится в области сходимости разложения в окрестности нуля. Для функции sin область сходимости разложения в ряд Маклорена - от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Потому мы можем его применять для для любой точки.

Я всё верно описал?

ПС: вроде ряд Маклорена проще, но графически его представить не получается - воспринимается как какая-то магия

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд Тейлора против ряда Маклорена - особенности применения
СообщениеДобавлено: 17 авг 2018, 18:32 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не всё так гладко. На самом деле, ряд Тейлора/Маклорена может существовать и даже сходиться, но значение суммы ряда не будет равно значению функции. Например,

[math]f(x) = e^{-1\slash x^2}[/math]
доопределенная по непрерывности f(0)=0

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд Тейлора против ряда Маклорена - особенности применения
СообщениеДобавлено: 17 авг 2018, 19:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 май 2018, 18:16
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Оу, а что делать в таком случае? Пробовать разложить во что-то другое? Если да - то какие ещё варианты существуют?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд Тейлора против ряда Маклорена - особенности применения
СообщениеДобавлено: 17 авг 2018, 20:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для разложения в ряд Тейлора (отличный от маклореновского) [math]sin(18^o)[/math]надо иметь в распоряжении какие-то точные значения синусов ближайших углов - таковым является [math]sin(15^o)[/math]. Кстати, [math]sin(18^o)[/math] вычисляется точно без всяких там Маклоренов и Тейлоров - это известная школьная задача!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд Тейлора против ряда Маклорена - особенности применения
СообщениеДобавлено: 17 авг 2018, 20:18 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
DYITor писал(а):
Пробовать разложить во что-то другое? Если да - то какие ещё варианты существуют?

На самом деле разложение ф-ии в рядом( было то Тейлора или Маклорена) это не для нахождение точного значения ф-ии, а для приближенного с достаточной точности, а большая точность получаеться когда брать больше членов ряда! А то что писал [math]swan[/math] о функции [math]f(x) = e^{-\frac{ 1 }{ x^{2} } }[/math] , доопределенная в т.0 как [math]f(0) = 0[/math] и саммого этого означаеть - если брать достаточно малого [math]h[/math] и в зависимости от [math]h[/math], достаточном число членов ряда то получим и скол угодно близкая к нуля стойност ф-ии через сумму ряда!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 17 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разложить в ряд Тейлора (Маклорена)

в форуме Ряды

351w

1

216

09 дек 2018, 07:15

Разложить функцию за формулой Тейлора и Маклорена

в форуме Литература и Онлайн-ресурсы по математике

ullou

2

356

09 янв 2021, 22:31

Найти границы заданных функций. Формула Тейлора и Маклорена

в форуме Дифференциальное исчисление

SheLdeR_856

3

297

30 апр 2018, 20:41

Сворачивание ряда Маклорена

в форуме Ряды

n7tor

4

475

03 фев 2015, 11:45

Выражение для ряда Тейлора

в форуме Ряды

iron-nmen

6

487

03 июн 2016, 13:20

Формула общего члена ряда (ряд Тейлора)

в форуме Ряды

Tuxedomask

1

478

18 окт 2017, 22:51

Рекуррентная формула с двойным факториалом для ряда Тейлора

в форуме Ряды

YarRainbow

3

987

20 ноя 2017, 13:25

Изобразить функцию f(z) в виде ряда Тейлора за степенями Z-Z

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Katya_di

1

176

27 дек 2020, 05:14

Найти три первых члена ряда Тейлора для функции

в форуме Ряды

B4N

5

732

18 май 2014, 17:50

Найти сумму первых трех членов ряда Тейлора

в форуме Ряды

leonleon2018

19

669

19 июл 2018, 15:23


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved