Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Г. М. Фихтенгольц (сумма бесконечного ряда)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=61265
Страница 1 из 1

Автор:  dserp18 [ 01 авг 2018, 23:47 ]
Заголовок сообщения:  Г. М. Фихтенгольц (сумма бесконечного ряда)

4) На той же идее построены следующие ряды...
[math]\sum \frac{ 1 }{ ( \alpha + n)( \alpha + n + 1) } \equiv \sum \left[ \frac{1}{ \alpha + n } - \frac{1}{ \alpha + n + 1} \right] = \frac{ 1 }{ \alpha + 1 }[/math]

Вопрос: как (на основании чего) удаётся "сократить" n в ответе?

Автор:  Booker48 [ 02 авг 2018, 00:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Г. М. Фихтенгольц (сумма бесконечного ряда)

А вы выпишите первые 3-4 члена ряда, представленного как разность дробей. :)

Автор:  dserp18 [ 02 авг 2018, 08:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Г. М. Фихтенгольц (сумма бесконечного ряда)

Значит, доказать можно по индукции, переходя от младшего члена ряда к старшему? А другие способы есть?

Автор:  michel [ 02 авг 2018, 10:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Г. М. Фихтенгольц (сумма бесконечного ряда)

dserp18 писал(а):
4) На той же идее построены следующие ряды...
[math]\sum \frac{ 1 }{ ( \alpha + n)( \alpha + n + 1) } \equiv \sum \left[ \frac{1}{ \alpha + n } - \frac{1}{ \alpha + n + 1} \right] = \frac{ 1 }{ \alpha + 1 }[/math]

Вопрос: как (на основании чего) удаётся "сократить" n в ответе?

[math]n[/math] попасть в ответ никак не может, потому что это индекс суммирования от [math]1[/math] до [math]\infty[/math]. Все слагаемые, кроме первого и последнего, сокращаются, так как (правая часть формулы в виде разности подсказывает) они идут друг за другом с обратными знаками (Booker48 об этом намекал Вам). Фактически остается только первое слагаемое, так как последнее слагаемое [math]-\frac{ 1 }{ \alpha + \infty +1 } \to 0[/math]. Метод математической индукции здесь не требуется.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/