Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 06:43 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
Подскажите (помогите), пожалуйста, с решением:
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 09:38 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2750 раз в 2538 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот, что говорит об первом ряде Вольфрам:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F((2n%2B1)(4n%2B5))
о втором ряде
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+(-1)%5En%2F((3n%2B1)(3n%2B4))
В каком Вузе интересно дают такие задания? Из какой книги текст этих задач?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 10:27 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Вот, что говорит об первом ряде Вольфрам:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F((2n%2B1)(4n%2B5))
о втором ряде
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+(-1)%5En%2F((3n%2B1)(3n%2B4))
В каком Вузе интересно дают такие задания? Из какой книги текст этих задач?


ЮУрГУ

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 14:41 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 16:58
Сообщений: 2657
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
538 раз в 525 сообщениях
Очков репутации: 120

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно разложить на простые множители и решить аналитически (обычно в подобных примерах многие члены ряда сокращаются).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 14:51 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2750 раз в 2538 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Radley писал(а):
Можно разложить на простые множители и решить аналитически (обычно в подобных примерах многие члены ряда сокращаются).

Не все ряды (в том числе от ТС) поддаются телескопическому суммированию.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 14:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Radley писал(а):
Можно разложить на простые множители и решить аналитически (обычно в подобных примерах многие члены ряда сокращаются).


Разложил, но не сокращается. Тут по другому надобно.
Для первого задания:
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 14:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2750 раз в 2538 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы на правильном пути! Очевидно, что эти два ряда, на которые Вы разложили, можно выразить через степенные ряды с полуцелыми степенями через интегралы!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 19:39 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не сходится у меня с ответами Вольфрама.
Посмотрите, пожалуйста, где я наврал (потерял логарифм в первом задании):
Изображение
Изображение
Изображение
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 05 июн 2018, 11:13 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2750 раз в 2538 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Явных ошибок не нашел, но прав Вольфрам. Тут какие-то тонкости с пределами возникают. В частности, проверил на соответствие суммы [math]S_1(x)=\sum\limits_{n=0}^{ \infty}\frac{ x^{2n+1} }{ 2n+1 }[/math] и интеграла [math]\int\limits_{0}^{x}\frac{ dx }{ 1-x^2 }[/math]. В пределе [math]x \to 1[/math] они отличаются на логарифм [math]\frac{ ln(2) }{ 2 }[/math]. Интересно, что и вторая сумма [math]S_2(x)=\sum\limits_{n=0}^{ \infty}\frac{ x^{4n+5} }{ 4n+5 }[/math] отличается от интеграла [math]\int\limits_{0}^{x}\frac{ x^4dx }{ 1-x^4 }[/math] в этой же точке на то же самое число [math]\frac{ ln(2) }{ 2 }[/math]. А так как при вычислении исходной суммы берется разность этих сумм с разными коэффициентами, то в ответ дополнительно попадает это слагаемое с логарифмом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 05 июн 2018, 14:12 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2720
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Интегрируя ряд [math]\sum\limits_{n=0}^\infty x^{2n}=\frac1{1-x^2}[/math] или просто используя Тейлора для [math]\ln(1\pm x),[/math] получим
[math]\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1}=\frac12\ln\frac{1-x}{1+x}[/math]

Подставляем [math]x^2[/math] вместо [math]x[/math] и домножаем на [math]x^2[/math]:
[math]\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{4n+4}}{2n+1}=\frac{x^2}{2}\ln\frac{1-x^2}{1+x^2}[/math]

Остаётся проинтегрировать (очевидно по частям), определиться с константой и подставить [math]x=1.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сумма ряда , сумма рядов , поиск суммы рядов , математически

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ioan

6

424

30 янв 2022, 19:06

Сходимость числовых рядов

в форуме Ряды

Zyf2121

16

731

19 сен 2015, 21:53

Суммирование расходящихся числовых рядов

в форуме Ряды

Igor_yudin

2

240

02 фев 2018, 14:31

Теоремы сравнения для числовых рядов

в форуме Ряды

Jim

1

486

15 июн 2014, 07:45

Найти суммы числовых рядов

в форуме Ряды

koallalo

1

483

09 янв 2015, 15:10

Теорема Римана для условно сходящихся числовых рядов

в форуме Ряды

westernru

1

709

13 май 2015, 17:43

Разложить функцию в ряд Фурье и найти суммы числовых рядов

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Valter017

0

655

24 апр 2018, 23:14

Разложить функцию в ряд Фурье и найти суммы числовых рядов

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

MrSviter

0

564

14 апр 2018, 23:46

Сумма рядов

в форуме Теория чисел

JoJo4

5

499

11 дек 2018, 01:22

Ряд как сумма сходящихся или расходящихся рядов

в форуме Ряды

Ivan2000Chalov

2

122

11 ноя 2019, 19:35


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved