Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 13 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
351w |
|
|
Подскажите (помогите), пожалуйста, с решением: |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Вот, что говорит об первом ряде Вольфрам:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F((2n%2B1)(4n%2B5)) о втором ряде http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+(-1)%5En%2F((3n%2B1)(3n%2B4)) В каком Вузе интересно дают такие задания? Из какой книги текст этих задач? |
||
Вернуться к началу | ||
351w |
|
|
michel писал(а): Вот, что говорит об первом ряде Вольфрам: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F((2n%2B1)(4n%2B5)) о втором ряде http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+(-1)%5En%2F((3n%2B1)(3n%2B4)) В каком Вузе интересно дают такие задания? Из какой книги текст этих задач? ЮУрГУ |
||
Вернуться к началу | ||
Radley |
|
|
Можно разложить на простые множители и решить аналитически (обычно в подобных примерах многие члены ряда сокращаются).
|
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Radley писал(а): Можно разложить на простые множители и решить аналитически (обычно в подобных примерах многие члены ряда сокращаются). Не все ряды (в том числе от ТС) поддаются телескопическому суммированию. |
||
Вернуться к началу | ||
351w |
|
|
Radley писал(а): Можно разложить на простые множители и решить аналитически (обычно в подобных примерах многие члены ряда сокращаются). Разложил, но не сокращается. Тут по другому надобно. Для первого задания: |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Вы на правильном пути! Очевидно, что эти два ряда, на которые Вы разложили, можно выразить через степенные ряды с полуцелыми степенями через интегралы!
|
||
Вернуться к началу | ||
351w |
|
|
Не сходится у меня с ответами Вольфрама.
Посмотрите, пожалуйста, где я наврал (потерял логарифм в первом задании): |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Явных ошибок не нашел, но прав Вольфрам. Тут какие-то тонкости с пределами возникают. В частности, проверил на соответствие суммы [math]S_1(x)=\sum\limits_{n=0}^{ \infty}\frac{ x^{2n+1} }{ 2n+1 }[/math] и интеграла [math]\int\limits_{0}^{x}\frac{ dx }{ 1-x^2 }[/math]. В пределе [math]x \to 1[/math] они отличаются на логарифм [math]\frac{ ln(2) }{ 2 }[/math]. Интересно, что и вторая сумма [math]S_2(x)=\sum\limits_{n=0}^{ \infty}\frac{ x^{4n+5} }{ 4n+5 }[/math] отличается от интеграла [math]\int\limits_{0}^{x}\frac{ x^4dx }{ 1-x^4 }[/math] в этой же точке на то же самое число [math]\frac{ ln(2) }{ 2 }[/math]. А так как при вычислении исходной суммы берется разность этих сумм с разными коэффициентами, то в ответ дополнительно попадает это слагаемое с логарифмом.
|
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
Интегрируя ряд [math]\sum\limits_{n=0}^\infty x^{2n}=\frac1{1-x^2}[/math] или просто используя Тейлора для [math]\ln(1\pm x),[/math] получим
[math]\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1}=\frac12\ln\frac{1-x}{1+x}[/math] Подставляем [math]x^2[/math] вместо [math]x[/math] и домножаем на [math]x^2[/math]: [math]\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{4n+4}}{2n+1}=\frac{x^2}{2}\ln\frac{1-x^2}{1+x^2}[/math] Остаётся проинтегрировать (очевидно по частям), определиться с константой и подставить [math]x=1.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 13 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Сумма ряда , сумма рядов , поиск суммы рядов , математически
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
6 |
424 |
30 янв 2022, 19:06 |
|
Сходимость числовых рядов
в форуме Ряды |
16 |
731 |
19 сен 2015, 21:53 |
|
Суммирование расходящихся числовых рядов
в форуме Ряды |
2 |
240 |
02 фев 2018, 14:31 |
|
Теоремы сравнения для числовых рядов
в форуме Ряды |
1 |
486 |
15 июн 2014, 07:45 |
|
Найти суммы числовых рядов
в форуме Ряды |
1 |
483 |
09 янв 2015, 15:10 |
|
Теорема Римана для условно сходящихся числовых рядов
в форуме Ряды |
1 |
709 |
13 май 2015, 17:43 |
|
Разложить функцию в ряд Фурье и найти суммы числовых рядов | 0 |
655 |
24 апр 2018, 23:14 |
|
Разложить функцию в ряд Фурье и найти суммы числовых рядов | 0 |
564 |
14 апр 2018, 23:46 |
|
Сумма рядов
в форуме Теория чисел |
5 |
499 |
11 дек 2018, 01:22 |
|
Ряд как сумма сходящихся или расходящихся рядов
в форуме Ряды |
2 |
122 |
11 ноя 2019, 19:35 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |