Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 06:43 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 378
Cпасибо сказано: 73
Спасибо получено:
6 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
Подскажите (помогите), пожалуйста, с решением:
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 09:38 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 2854
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
945 раз в 876 сообщениях
Очков репутации: 141

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот, что говорит об первом ряде Вольфрам:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F((2n%2B1)(4n%2B5))
о втором ряде
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+(-1)%5En%2F((3n%2B1)(3n%2B4))
В каком Вузе интересно дают такие задания? Из какой книги текст этих задач?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 10:27 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 378
Cпасибо сказано: 73
Спасибо получено:
6 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Вот, что говорит об первом ряде Вольфрам:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F((2n%2B1)(4n%2B5))
о втором ряде
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+(-1)%5En%2F((3n%2B1)(3n%2B4))
В каком Вузе интересно дают такие задания? Из какой книги текст этих задач?


ЮУрГУ

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 14:41 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 16:58
Сообщений: 1470
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
286 раз в 279 сообщениях
Очков репутации: 101

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно разложить на простые множители и решить аналитически (обычно в подобных примерах многие члены ряда сокращаются).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 14:51 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 2854
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
945 раз в 876 сообщениях
Очков репутации: 141

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Radley писал(а):
Можно разложить на простые множители и решить аналитически (обычно в подобных примерах многие члены ряда сокращаются).

Не все ряды (в том числе от ТС) поддаются телескопическому суммированию.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 14:51 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 378
Cпасибо сказано: 73
Спасибо получено:
6 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Radley писал(а):
Можно разложить на простые множители и решить аналитически (обычно в подобных примерах многие члены ряда сокращаются).


Разложил, но не сокращается. Тут по другому надобно.
Для первого задания:
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 14:56 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 2854
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
945 раз в 876 сообщениях
Очков репутации: 141

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы на правильном пути! Очевидно, что эти два ряда, на которые Вы разложили, можно выразить через степенные ряды с полуцелыми степенями через интегралы!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 19:39 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 378
Cпасибо сказано: 73
Спасибо получено:
6 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не сходится у меня с ответами Вольфрама.
Посмотрите, пожалуйста, где я наврал (потерял логарифм в первом задании):
Изображение
Изображение
Изображение
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 05 июн 2018, 11:13 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 2854
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
945 раз в 876 сообщениях
Очков репутации: 141

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Явных ошибок не нашел, но прав Вольфрам. Тут какие-то тонкости с пределами возникают. В частности, проверил на соответствие суммы [math]S_1(x)=\sum\limits_{n=0}^{ \infty}\frac{ x^{2n+1} }{ 2n+1 }[/math] и интеграла [math]\int\limits_{0}^{x}\frac{ dx }{ 1-x^2 }[/math]. В пределе [math]x \to 1[/math] они отличаются на логарифм [math]\frac{ ln(2) }{ 2 }[/math]. Интересно, что и вторая сумма [math]S_2(x)=\sum\limits_{n=0}^{ \infty}\frac{ x^{4n+5} }{ 4n+5 }[/math] отличается от интеграла [math]\int\limits_{0}^{x}\frac{ x^4dx }{ 1-x^4 }[/math] в этой же точке на то же самое число [math]\frac{ ln(2) }{ 2 }[/math]. А так как при вычислении исходной суммы берется разность этих сумм с разными коэффициентами, то в ответ дополнительно попадает это слагаемое с логарифмом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма числовых рядов
СообщениеДобавлено: 05 июн 2018, 14:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2218
Cпасибо сказано: 82
Спасибо получено:
735 раз в 581 сообщениях
Очков репутации: 188

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Интегрируя ряд [math]\sum\limits_{n=0}^\infty x^{2n}=\frac1{1-x^2}[/math] или просто используя Тейлора для [math]\ln(1\pm x),[/math] получим
[math]\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1}=\frac12\ln\frac{1-x}{1+x}[/math]

Подставляем [math]x^2[/math] вместо [math]x[/math] и домножаем на [math]x^2[/math]:
[math]\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{4n+4}}{2n+1}=\frac{x^2}{2}\ln\frac{1-x^2}{1+x^2}[/math]

Остаётся проинтегрировать (очевидно по частям), определиться с константой и подставить [math]x=1.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сходимость числовых рядов

в форуме Ряды

Distance

3

629

17 сен 2010, 16:05

Сходимость числовых рядов

в форуме Ряды

Zyf2121

16

483

19 сен 2015, 21:53

исследовать сходимость числовых рядов

в форуме Ряды

yur8029

3

555

31 май 2012, 21:39

Теоремы сравнения для числовых рядов

в форуме Ряды

Jim

1

341

15 июн 2014, 07:45

Исследовать сходимость числовых рядов

в форуме Ряды

mds

3

729

29 окт 2010, 20:25

Суммирование расходящихся числовых рядов

в форуме Ряды

Igor_yudin

2

104

02 фев 2018, 14:31

Исследовать сходимость числовых рядов

в форуме Ряды

Igor21

6

638

07 ноя 2013, 20:01

Исследование на сходимость числовых рядов

в форуме Объявления участников Форума

misha1994

10

4007

25 янв 2012, 11:54

Определить сходимость числовых рядов

в форуме Ряды

Taras15

8

599

15 дек 2012, 21:17

Найти суммы числовых рядов

в форуме Ряды

koallalo

1

251

09 янв 2015, 15:10


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved