Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказательство сходимости ряда
СообщениеДобавлено: 10 май 2018, 18:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 ноя 2017, 23:40
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мне дан условно сходящийся ряд [math]\sum\limits_{k = 1}^{ \infty } a_{k}[/math] и нужно доказать, что существует такая последовательность [math]\left\{ c_{k} \right\} \longrightarrow 0[/math], где [math]c_{k} > 0[/math], что ряд [math]\sum\limits_{k = 1}^{ \infty } c_{k} a_{k}[/math] расходится.
У меня было предположение, что здесь можно доказать от противного , т.е. дан усл. сход. ряд, докажем, что для любой последовательности ряд сходится. Однако как-то не задалось.
Подскажите, мое предположение было верным? Или надо как-то по-другому доказывать?
Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство сходимости ряда
СообщениеДобавлено: 10 май 2018, 23:34 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Может надо построить конкретный пример (правило) вычисления [math]c_k[/math] исходя из [math]a_k[/math] ?
Для общей информации можно для начала посмотреть про признаки Абеля и Дирихле (Курс Фихтенгольца, т.2, п.384). Но они про сходимость. Значит пример надо строить среди последовательностей, которые не удовлетворяют этим признакам. Допустим в признаке Абеля требуется монотонность [math]c_k[/math]. Для чего-то ведь она нужна. Значит в примере [math]c_k[/math] не должна быть монотонной.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство сходимости ряда
СообщениеДобавлено: 11 май 2018, 09:17 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Обратите внимание на признак Абеля и Дини (Курс Фихтенгольца, т.2, п.375.4).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство сходимости ряда
СообщениеДобавлено: 11 май 2018, 12:15 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Sever
Пока Вы не научитесь с легкостью решать такие задачи, про эту: viewtopic.php?f=55&t=59666 можете не вспоминать.
В данной задачи если грубо попробуйте "оставить" только положительные [math]a_k[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство сходимости ряда
СообщениеДобавлено: 11 май 2018, 12:29 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Коэффициенты [math]c_i[/math] должны быть того же знака, что и [math]a_i[/math]. Тогда ваш ряд будет положительным. Остается подобрать [math]c_i[/math] так, чтобы последовательность сходилась к нулю, но не слишком быстро. Это можно сделать например таким образом:
Пусть [math]i_1[/math] таково, что [math]|a_1|+ ... + |a_{i_1}|>1[/math]. Модуль коэффициентов [math]c_i[/math] полагаем равным [math]1[/math]. ([math]1 \leqslant i \leqslant i_1[/math]).
[math]i_2[/math]: [math]|a_{i_1+1}|+ \ldots +|a_{i_2}|>1[/math]. Полагаем [math]1/2[/math]
[math]i_3[/math]: [math]|a_{i_2+1}|+ \ldots + |a_{i_3}|>1[/math]. [math]1/3[/math]. И так далее...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Sever
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство сходимости ряда
СообщениеДобавлено: 11 май 2018, 13:00 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не заметил условие положительности.
В таком случае по предложению Slon рассмотрите только положительные члены, применив к ним указанную мной конструкцию.
На остальных, поскольку нельзя сделать нулем - нужно сделать коэффициенты очень малыми. Подумайте сами как. Подсказка: эту часть ряда можно сделать сходящейся.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Sever
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказательство равномерной сходимости

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

PashaM

2

287

19 ноя 2019, 23:02

Доказательство бесконечности ряда простых чисел вида 4n+3

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Mahler

2

273

29 май 2018, 13:32

Область сходимости фун. ряда

в форуме Ряды

genia2030

8

635

07 янв 2018, 18:10

Область сходимости ряда

в форуме Ряды

351w

0

126

31 май 2020, 15:41

Область сходимости ряда

в форуме Ряды

351w

1

287

29 май 2018, 13:23

Радиус сходимости ряда

в форуме Ряды

Viki4

6

196

24 апр 2023, 19:35

Область сходимости ряда

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Sykes

4

171

06 авг 2021, 10:39

Признак сходимости ряда

в форуме Ряды

Ryslannn

1

314

18 дек 2017, 11:31

Радиус сходимости ряда

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Silver

14

758

25 май 2016, 19:54

Область сходимости ряда

в форуме Ряды

351w

18

280

26 ноя 2020, 08:15


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved