Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать что ряд сходится с помощью признака сравнения
СообщениеДобавлено: 15 апр 2018, 12:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 дек 2016, 18:56
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго дня математики. Сломал всю голову. Не могу доказать, что ряд сходится именно с помощью признака сравнения. Общий член должен быть меньше какого-либо эталонного, но не могу его подобрать. Даже используя предельный признак сравнения очень мешается радикал с экспонентой.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что ряд сходится с помощью признака сравнения
СообщениеДобавлено: 15 апр 2018, 19:23 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Известно, что [math]\lim_{n \to +\infty} \frac{n^4}{e^n} = 0[/math], откуда следует, что при достаточно больших [math]n[/math] будет верно неравенство [math]\frac{n^4}{e^n} < 1[/math], а значит и [math]\frac{n^2}{e^n} < \frac{1}{n^2}[/math]. Так что [math]\operatorname{arctg} \left( \frac{1}{n^2} + \frac{n^2}{e^n} \right) < \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^2} \right) = \operatorname{arctg} \left( \frac{2}{n^2}\right) < \frac{2}{n^2}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что ряд сходится с помощью признака сравнения
СообщениеДобавлено: 15 апр 2018, 20:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 дек 2016, 18:56
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Известно, что [math]\lim_{n \to +\infty} \frac{n^4}{e^n} = 0[/math], откуда следует, что при достаточно больших [math]n[/math] будет верно неравенство [math]\frac{n^4}{e^n} < 1[/math], а значит и [math]\frac{n^2}{e^n} < \frac{1}{n^2}[/math]. Так что [math]\operatorname{arctg} \left( \frac{1}{n^2} + \frac{n^2}{e^n} \right) < \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^2} \right) = \operatorname{arctg} \left( \frac{2}{n^2}\right) < \frac{2}{n^2}[/math].



Теорема гласит, что неравенство должно выполняться при любых n.

Если построить график, всё совсем даже наоборот [math]\frac{n^2}{e^n} > \frac{1}{n^2}[/math]

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что ряд сходится с помощью признака сравнения
СообщениеДобавлено: 15 апр 2018, 20:14 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При чем тут теорема (какая)? Вам выше написали, что неравенство будет выполняться для достаточно большого [math]n[/math] (а не для любого [math]n[/math]), в данном случае для [math]n>9[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Space
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что ряд сходится с помощью признака сравнения
СообщениеДобавлено: 15 апр 2018, 20:50 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Fixed_up писал(а):
Теорема гласит, что неравенство должно выполняться при любых n.

Никакая теорема такого не гласит. Есть теорема, утверждающая, что ряд сходится, если соответствующее неравенство выполнено для всех [math]n[/math]. Это условие достаточное, но не необходимое. Теорему можно усилить. Достаточно, чтобы неравенство выполнялось для всех [math]n[/math], превосходящих некоторое [math]N[/math].

Кстати, если все же хочется, чтобы неравенство выполнялось при всех [math]n[/math], то и это можно устроить. Пожалуйста: [math]\frac{n^2}{e^n} < \frac{10}{n^2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что ряд сходится с помощью признака сравнения
СообщениеДобавлено: 15 апр 2018, 22:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 дек 2016, 18:56
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Fixed_up писал(а):
Теорема гласит, что неравенство должно выполняться при любых n.

Никакая теорема такого не гласит. Есть теорема, утверждающая, что ряд сходится, если соответствующее неравенство выполнено для всех [math]n[/math]. Это условие достаточное, но не необходимое. Теорему можно усилить. Достаточно, чтобы неравенство выполнялось для всех [math]n[/math], превосходящих некоторое [math]N[/math].

Кстати, если все же хочется, чтобы неравенство выполнялось при всех [math]n[/math], то и это можно устроить. Пожалуйста: [math]\frac{n^2}{e^n} < \frac{10}{n^2}[/math]


Дмитрий Письменный - Конспект лекций по высшей математике.

Изображение


Ну да, я увидел, что там есть замечание, что теорема остаётся справедливой, начиная с некоторого числа N. Не замечал раньше. Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Отрицание признака сравнения

в форуме Ряды

Lunteg

5

205

15 апр 2020, 16:08

Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Коши

в форуме Ряды

Garcia09

5

323

30 ноя 2015, 18:48

Исследовать ряд на сходимость с помощью признаков сравнения

в форуме Ряды

Dana199

2

395

02 ноя 2015, 15:59

Доказать, что не сходится

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Jake105

3

138

04 ноя 2022, 12:38

Доказать, что интеграл сходится

в форуме Интегральное исчисление

Jugalator

7

298

03 июн 2018, 19:07

Доказать, что ряд сходится абсолютно

в форуме Ряды

Nataliyash

3

162

05 окт 2023, 18:05

Доказать, что последовательность сходится

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

G4ME0VER62

1

396

24 дек 2017, 13:38

Доказать, что последовательность сходится

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

tanyhaftv

7

480

23 дек 2018, 17:17

Доказать, что последовательность сходится

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Jake105

7

241

06 дек 2022, 20:11

Доказать, что последовательность сходится и найти ее предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Vansoul

16

1503

06 окт 2018, 06:55


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved