Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разложение в ряд Тейлора функции многих переменных
СообщениеДобавлено: 25 мар 2018, 06:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 окт 2017, 09:45
Сообщений: 43
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Разложить по формуле Тейлорав в окрестности ( [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math] ; 0)
f(x,y) = [math]\sin{(x + y^{2} )}[/math]
Я делал так: перешёл к косинусу,совершил замену (x -pi/2)=t , и, разложив косинус суммы, представил оба слагаемых по формуле Маклорена, но не последние член для к-го слагаемого, не в виде символа суммы представить не могу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение в ряд Тейлора функции многих переменных
СообщениеДобавлено: 25 мар 2018, 14:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 окт 2017, 09:45
Сообщений: 43
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
*после разложения по Маклорену я раскрывал скобки и собирал одинаковые степени

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение в ряд Тейлора функции многих переменных
СообщениеДобавлено: 25 мар 2018, 18:02 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Finn_parnichka писал(а):
но не последние член для к-го слагаемого, не в виде символа суммы представить не могу.

Но ведь задание использовать формулу Тейлора, а не раскладывать в ряд. Ряд Тейлора будет сложно выписать в явном виде. А вот разложить по формуле Тейлора до первого или второго порядка вполне реально. В задании не указан требуемый порядок?

В виде ряда можно представить так:

[math]\sin(x+y^2) = \sin \left( t + \frac{\pi}{2} + y^2 \right) = \cos(t+y^2) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} (t+y^2)^{2n} = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \sum\limits_{k=0}^{2n} C_{2n}^{k} t^{2n-k} y^{2k} = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \sum\limits_{k=0}^{2n} \frac{(-1)^n}{k! (2n-k)!} t^{2n-k} y^{2k}[/math]

Хотя я сомневаюсь, что это можно назвать рядом Тейлора.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение в ряд Тейлора функции многих переменных
СообщениеДобавлено: 25 мар 2018, 18:24 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
[math]\sin(x+y^2) = \sin \left( t + \frac{\pi}{2} + y^2 \right) = \cos(t+y^2) =
\sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} (t+y^2)^{2n}[/math]


Мне кажется, что и так нормально будет. (Хотя в последней формуле можно заменить [math]t[/math] на [math]x-\pi /2[/math] ).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение в ряд Тейлора функции многих переменных
СообщениеДобавлено: 25 мар 2018, 20:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 окт 2017, 09:45
Сообщений: 43
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space
Нет, порядок не указан, в ответе необходимо написать общее выражение для разложения до n-го члена.
А Вы можете подробнее описать получение первой суммы?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение в ряд Тейлора функции многих переменных
СообщениеДобавлено: 25 мар 2018, 20:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 окт 2017, 09:45
Сообщений: 43
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space
Или это просто разложение косинусу по Маклорену?
Разве можно пользоваться им для функции,зависящей от двух переменных?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение в ряд Тейлора функции многих переменных
СообщениеДобавлено: 25 мар 2018, 20:49 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Finn_parnichka писал(а):
Или это просто разложение косинусу по Маклорену?

Именно так.

Finn_parnichka писал(а):
Разве можно пользоваться им для функции,зависящей от двух переменных?

Я бы сказал, что вопрос не совсем корректен. Функция [math]\cos(x)[/math] зависит от одной переменной. И я воспользовался разложением этой функции в ряд [math]\cos(x) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}[/math], которое верно для всех [math]x \in \mathbb{R}[/math]. Как вообще можно воспользоваться этим разложением для функции двух переменных, если это разложение вполне определенной функции ([math]\cos(x)[/math]), которая зависит от одной переменной?

Скорее, вопрос заключается в том, почему верна формула [math]\cos(t + y^2) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} (t+y^2)^{2n}[/math]. Но она верна просто потому, что разложение косинуса имеет место при любых значениях аргумента, в том числе [math](t+y^2)[/math].

Более того, из этого равенства можно получить разложение [math]\cos(t+y^2)[/math] в ряд Маклорена в силу его единственности. То есть, если мы разложим функцию переменных [math](t,y)[/math] в ряд по степеням [math]t[/math] и [math]y[/math], то этот ряд и будет её рядом Тейлора в точке [math](0,0)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
Finn_parnichka
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Полином Тейлора второй степени для функций многих переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Mephisto

6

321

07 июн 2022, 21:43

Функции многих переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

van_djk

5

448

01 июн 2020, 18:42

Функции многих переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Bugurt

0

513

05 июн 2014, 12:37

Нахождение функции многих переменных

в форуме Дискуссионные математические проблемы

unspect

0

568

15 июн 2015, 16:59

Дифференцируемость функции многих переменных в точке

в форуме Дифференциальное исчисление

bylbyl9tor

4

538

24 июн 2019, 21:42

Дифференциальное исчисление функции многих переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Gregorys

4

242

02 май 2022, 17:28

Дифференциальное исчисление функции многих переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

w0nna

6

422

28 май 2022, 22:10

Наибольшее и наименьше значения функции многих переменных

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

e7min

14

531

27 май 2019, 07:23

Частные и полный дифференциалы функции многих переменных

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Anyaaaaaaaaa

1

326

23 май 2015, 23:03

Ряд Тейлора для функции двух переменных

в форуме Ряды

LaraKu

3

1479

19 май 2018, 19:25


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved