Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Finn_parnichka |
|
||
f(x,y) = [math]\sin{(x + y^{2} )}[/math] Я делал так: перешёл к косинусу,совершил замену (x -pi/2)=t , и, разложив косинус суммы, представил оба слагаемых по формуле Маклорена, но не последние член для к-го слагаемого, не в виде символа суммы представить не могу. |
|||
Вернуться к началу | |||
Finn_parnichka |
|
||
*после разложения по Маклорену я раскрывал скобки и собирал одинаковые степени
|
|||
Вернуться к началу | |||
Space |
|
||
Finn_parnichka писал(а): но не последние член для к-го слагаемого, не в виде символа суммы представить не могу. Но ведь задание использовать формулу Тейлора, а не раскладывать в ряд. Ряд Тейлора будет сложно выписать в явном виде. А вот разложить по формуле Тейлора до первого или второго порядка вполне реально. В задании не указан требуемый порядок? В виде ряда можно представить так: [math]\sin(x+y^2) = \sin \left( t + \frac{\pi}{2} + y^2 \right) = \cos(t+y^2) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} (t+y^2)^{2n} = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \sum\limits_{k=0}^{2n} C_{2n}^{k} t^{2n-k} y^{2k} = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \sum\limits_{k=0}^{2n} \frac{(-1)^n}{k! (2n-k)!} t^{2n-k} y^{2k}[/math] Хотя я сомневаюсь, что это можно назвать рядом Тейлора. |
|||
Вернуться к началу | |||
searcher |
|
|
Space писал(а): [math]\sin(x+y^2) = \sin \left( t + \frac{\pi}{2} + y^2 \right) = \cos(t+y^2) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} (t+y^2)^{2n}[/math] Мне кажется, что и так нормально будет. (Хотя в последней формуле можно заменить [math]t[/math] на [math]x-\pi /2[/math] ). |
||
Вернуться к началу | ||
Finn_parnichka |
|
||
Space
Нет, порядок не указан, в ответе необходимо написать общее выражение для разложения до n-го члена. А Вы можете подробнее описать получение первой суммы? |
|||
Вернуться к началу | |||
Finn_parnichka |
|
||
Space
Или это просто разложение косинусу по Маклорену? Разве можно пользоваться им для функции,зависящей от двух переменных? |
|||
Вернуться к началу | |||
Space |
|
||
Finn_parnichka писал(а): Или это просто разложение косинусу по Маклорену? Именно так. Finn_parnichka писал(а): Разве можно пользоваться им для функции,зависящей от двух переменных? Я бы сказал, что вопрос не совсем корректен. Функция [math]\cos(x)[/math] зависит от одной переменной. И я воспользовался разложением этой функции в ряд [math]\cos(x) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}[/math], которое верно для всех [math]x \in \mathbb{R}[/math]. Как вообще можно воспользоваться этим разложением для функции двух переменных, если это разложение вполне определенной функции ([math]\cos(x)[/math]), которая зависит от одной переменной? Скорее, вопрос заключается в том, почему верна формула [math]\cos(t + y^2) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} (t+y^2)^{2n}[/math]. Но она верна просто потому, что разложение косинуса имеет место при любых значениях аргумента, в том числе [math](t+y^2)[/math]. Более того, из этого равенства можно получить разложение [math]\cos(t+y^2)[/math] в ряд Маклорена в силу его единственности. То есть, если мы разложим функцию переменных [math](t,y)[/math] в ряд по степеням [math]t[/math] и [math]y[/math], то этот ряд и будет её рядом Тейлора в точке [math](0,0)[/math]. |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали: Finn_parnichka |
|||
[ Сообщений: 7 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 17 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |