Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
an2ancan |
|
|
Найти сумму ряда: [math]\sum\limits_{0}^{ \infty} (-1)^k \frac{(k+1)^2}{k!}[/math] Ну что ясно, этот ряд сходится, т.к.по признаку Лейбница, т.к. [math]\lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)^2}{k!} = 0[/math] Ряд сходится абсолютно, т.к. [math]\lim_{k \to \infty}\frac{(k+2)^2 k!}{(k+1)! (k+1)^2} =\frac{(k+2)^2}{(k+1)^3} = 0[/math] Дальше, расскроем скобки [math]\sum\limits_{0}^{ \infty} (-1)^k \frac{(k+1)^2}{k!} = \sum\limits_{0}^{ \infty} (-1)^k \frac{(k^2 + 2k +1)}{k!}[/math] Можно разделить данный ряд на 3 ряда [math]\sum\limits_{0}^{\infty}(-1)^k \frac{k^2}{k!}[/math] [math]\sum\limits_{0}^{\infty} (-1)^k \frac{2k}{k!}[/math] [math]\sum\limits_{0}^{\infty} (-1)^k \frac{1}{k!}[/math] Начнем с последнего ряда. Найдем его сумму: [math]S_3 = \sum\limits_{0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} =e^{-1}[/math] Теперь втрой ряд [math]S_2 = \sum\limits_{0}^{\infty} (-1)^k \frac{2k}{k!} = 2(0+\sum\limits_{1}^{\infty} (-1)^k \frac{k}{k!})=2\sum\limits_{1}^{\infty} (-1)^k \frac{1}{(k-1)!})=-2\sum\limits_{0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!} = -2e^{-1}[/math] И первый ряд: [math]S_1 = \sum\limits_{0}^{\infty}(-1)^k \frac{k^2}{k!} = 0 + \sum\limits_{1}^{\infty}(-1)^k \frac{k^2}{k!} = \sum\limits_{1}^{\infty}(-1)^k \frac{k}{(k-1)!} = \sum\limits_{1}^{\infty}(-1)^k \frac{(k-1) + 1}{(k-1)!}= \sum\limits_{1}^{\infty}(-1)^k \frac{k-1}{(k-1)!} + \sum\limits_{1}^{\infty}(-1)^k \frac{1}{(k-1)!} = S_4 + S_5[/math] [math]S_4 =\sum\limits_{1}^{\infty}(-1)^k \frac{k-1}{(k-1)!} = 0 +\sum\limits_{2}^{\infty}(-1)^k \frac{1}{(k-2)!} = \sum\limits_{0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k)!} = e^{-1}[/math] [math]S_5 =\sum\limits_{1}^{\infty}(-1)^k \frac{1}{(k-1)!} = -\sum\limits_{0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k-1)!} = e^{-1}[/math] И так, сумма нашего ряда выходит: [math]S = S_1+S_2+S_3 = S_1+S_2+S_4+S_5 = e^{-1}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Slon |
|
|
[math](k+1)^2 = k(k-1) + 3k + 1[/math], поэтому будет [math]e^{-1}-3e^{-1}+e^{-1}=-e^{-1}[/math]
PS: у Вас [math]S_4, S_5[/math] разных знаков должны были получится |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали: an2ancan |
||
Shadows |
|
|
да, [math]S_5=-e^{-1}[/math] остальное верно.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали: an2ancan |
||
an2ancan |
|
|
Спасибо
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Найти сумму ряда используя разложения ряда Фурье | 0 |
755 |
11 май 2017, 19:16 |
|
Найти сумму ряда с помощью ряда Фурье
в форуме Ряды |
1 |
374 |
16 апр 2020, 17:17 |
|
Найти сумму ряда с помощью ряда Фурье | 1 |
638 |
01 апр 2020, 15:44 |
|
Рекуррентная формула с двойным факториалом для ряда Тейлора
в форуме Ряды |
3 |
987 |
20 ноя 2017, 13:25 |
|
Найти сумму ряда
в форуме Ряды |
1 |
502 |
11 авг 2016, 15:21 |
|
Найти сумму ряда
в форуме Ряды |
3 |
206 |
13 апр 2019, 19:07 |
|
Найти сумму ряда
в форуме Ряды |
8 |
440 |
02 дек 2022, 22:37 |
|
Найти сумму ряда
в форуме Ряды |
4 |
732 |
16 июн 2017, 14:52 |
|
Найти сумму ряда
в форуме Ряды |
2 |
439 |
14 авг 2016, 13:59 |
|
Найти сумму ряда
в форуме Ряды |
2 |
563 |
22 ноя 2017, 19:16 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |