Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти сумму ряда с факториалом
СообщениеДобавлено: 28 фев 2018, 18:53 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 фев 2018, 21:30
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Длброго времени суток, посмотрите, пожалуйста, верно ли я решил задачу:

Найти сумму ряда:
[math]\sum\limits_{0}^{ \infty} (-1)^k \frac{(k+1)^2}{k!}[/math]

Ну что ясно, этот ряд сходится, т.к.по признаку Лейбница, т.к. [math]\lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)^2}{k!} = 0[/math]
Ряд сходится абсолютно, т.к.
[math]\lim_{k \to \infty}\frac{(k+2)^2 k!}{(k+1)! (k+1)^2} =\frac{(k+2)^2}{(k+1)^3} = 0[/math]

Дальше, расскроем скобки

[math]\sum\limits_{0}^{ \infty} (-1)^k \frac{(k+1)^2}{k!} = \sum\limits_{0}^{ \infty} (-1)^k \frac{(k^2 + 2k +1)}{k!}[/math]
Можно разделить данный ряд на 3 ряда
[math]\sum\limits_{0}^{\infty}(-1)^k \frac{k^2}{k!}[/math]

[math]\sum\limits_{0}^{\infty} (-1)^k \frac{2k}{k!}[/math]

[math]\sum\limits_{0}^{\infty} (-1)^k \frac{1}{k!}[/math]

Начнем с последнего ряда. Найдем его сумму:

[math]S_3 = \sum\limits_{0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} =e^{-1}[/math]

Теперь втрой ряд

[math]S_2 = \sum\limits_{0}^{\infty} (-1)^k \frac{2k}{k!} = 2(0+\sum\limits_{1}^{\infty} (-1)^k \frac{k}{k!})=2\sum\limits_{1}^{\infty} (-1)^k \frac{1}{(k-1)!})=-2\sum\limits_{0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!} = -2e^{-1}[/math]

И первый ряд:

[math]S_1 =
\sum\limits_{0}^{\infty}(-1)^k \frac{k^2}{k!} =
0 + \sum\limits_{1}^{\infty}(-1)^k \frac{k^2}{k!} =
\sum\limits_{1}^{\infty}(-1)^k \frac{k}{(k-1)!} =
\sum\limits_{1}^{\infty}(-1)^k \frac{(k-1) + 1}{(k-1)!}=
\sum\limits_{1}^{\infty}(-1)^k \frac{k-1}{(k-1)!} + \sum\limits_{1}^{\infty}(-1)^k \frac{1}{(k-1)!} = S_4 + S_5[/math]


[math]S_4 =\sum\limits_{1}^{\infty}(-1)^k \frac{k-1}{(k-1)!} = 0 +\sum\limits_{2}^{\infty}(-1)^k \frac{1}{(k-2)!} =
\sum\limits_{0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k)!} = e^{-1}[/math]


[math]S_5 =\sum\limits_{1}^{\infty}(-1)^k \frac{1}{(k-1)!} = -\sum\limits_{0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k-1)!} = e^{-1}[/math]

И так, сумма нашего ряда выходит:
[math]S = S_1+S_2+S_3 = S_1+S_2+S_4+S_5 = e^{-1}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму ряда с факториалом
СообщениеДобавлено: 28 фев 2018, 19:07 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math](k+1)^2 = k(k-1) + 3k + 1[/math], поэтому будет [math]e^{-1}-3e^{-1}+e^{-1}=-e^{-1}[/math]
PS: у Вас [math]S_4, S_5[/math] разных знаков должны были получится

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали:
an2ancan
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму ряда с факториалом
СообщениеДобавлено: 28 фев 2018, 19:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
да, [math]S_5=-e^{-1}[/math] остальное верно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
an2ancan
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму ряда с факториалом
СообщениеДобавлено: 02 мар 2018, 16:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 фев 2018, 21:30
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти сумму ряда используя разложения ряда Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Koleso

0

755

11 май 2017, 19:16

Найти сумму ряда с помощью ряда Фурье

в форуме Ряды

chillnory

1

374

16 апр 2020, 17:17

Найти сумму ряда с помощью ряда Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

ka9aje

1

638

01 апр 2020, 15:44

Рекуррентная формула с двойным факториалом для ряда Тейлора

в форуме Ряды

YarRainbow

3

987

20 ноя 2017, 13:25

Найти сумму ряда

в форуме Ряды

Chirik

1

502

11 авг 2016, 15:21

Найти сумму ряда

в форуме Ряды

anna2019

3

206

13 апр 2019, 19:07

Найти сумму ряда

в форуме Ряды

albatroskuku

8

440

02 дек 2022, 22:37

Найти сумму ряда

в форуме Ряды

2PKJX

4

732

16 июн 2017, 14:52

Найти сумму ряда

в форуме Ряды

keydon24

2

439

14 авг 2016, 13:59

Найти сумму ряда

в форуме Ряды

Vikast

2

563

22 ноя 2017, 19:16


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved