Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Разложение подынтегральной функции в степенной ряд
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=5819
Страница 1 из 1

Автор:  Dan1993 [ 13 май 2011, 19:39 ]
Заголовок сообщения:  Разложение подынтегральной функции в степенной ряд

Помогите, уже второй день не могу решить, как построить сумму ряда, этой функции

Вычислить значение определённого интеграла с точностью 0.0001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав его почленно

[math]\int\limits_{0}^{0.75}\frac{dx}{\sqrt{1+x^3}}[/math]

Автор:  lexus666 [ 13 май 2011, 23:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложение функции в ряд

проще всего взять готовое разложение функции [math](1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}t^n[/math], заменив [math]t=x^3[/math] и [math]\alpha=1/2[/math].
После подстановки в интеграл получится:

[math]\int_0^{0,75}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)...(\frac{1}{2}-n+1)}{n!}x^{3n}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)...(\frac{1}{2}-n+1)}{n!(3n+1)}(0,75)^{3n+1}=...[/math]

дальше считаете эту сумму до того члена который не станет меньше вашей точности

Автор:  Alexdemath [ 14 май 2011, 01:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложение подынтегральной функции в степенной ряд

lexus666

Точнее [math]\alpha=-1/2[/math].

Автор:  Dan1993 [ 14 май 2011, 11:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложение подынтегральной функции в степенной ряд

Спасибо , только у меня ещё одна запара появилась как можно этот ряд доказать что он сходится по признаку Лейбница , и что делать с многоточием?

И ещё один момент нужно узнать количество шагов , для этого нужно член ряда в общем виде был меньше E (эпселент )
и найти те n для которых выполняет неравенство , жесть знаю =(
что делать с этим несчастным многоточием =(

Автор:  lexus666 [ 14 май 2011, 15:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложение подынтегральной функции в степенной ряд

Alexdemath писал(а):
lexus666

Точнее [math]\alpha=-1/2[/math].

Да Alexdemath, конечно :)

Автор:  lexus666 [ 14 май 2011, 16:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложение подынтегральной функции в степенной ряд

[math]n[/math]-ый член ряда [math]a_n=\frac{-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}-1)...(-\frac{1}{2}-n+1)}{n!(3n+1)}(0,75)^{3n+1}[/math], по Лейбницу нужно показать, что [math]\mid a_{n+1}\mid\le\mid a_n\mid[/math], и [math]\lim_{n\to\infty}\mid a_n\mid\to 0[/math]. Вообще ряд [math](1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}t^{n}[/math] сходится для любых [math]\mid t\mid<1[/math]. Т .к. интеграл считается на промежутке [math]x\in[0;0,75][/math], на котором подинтегральная функция представима сходящимся радом, то и интеграл будет представлять собой сходящийся ряд. Это можно проследить, например, воспользовавшись теоремой о среднем [math]\int_0^{0,75}\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}dx=0,75\frac{1}{\sqrt{1+t^3}},t\in[0;0,75][/math], т. к. [math]\mid t\mid<1[/math], то и интеграл будет представим сходящимся числовым рядом (я так думаю, но если, что поправте меня). Что бы найти номер до которого нужно считать, необходимо решить не равенство [math]\mid a_n\mid-\mid a_{n-1}\mid\le\epsilon[/math], из которого и определить этот номер.

Автор:  Dan1993 [ 16 май 2011, 17:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложение подынтегральной функции в степенной ряд

Спасибо))) Вот только если n = 0 то как разложить ряд по n = 0 , он там будет всегда равен 1 или как?

Автор:  lexus666 [ 17 май 2011, 00:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложение подынтегральной функции в степенной ряд

Dan1993 писал(а):
...как разложить ряд по n = 0...

???? :shock: .....
первый член ряда равен 1.

Автор:  banan1 [ 12 май 2014, 21:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложение подынтегральной функции в степенной ряд

Подскажите как найти область сходимости этого ряда в который разложился интеграл

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/