Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сумма неполного гармонического ряда
СообщениеДобавлено: 17 янв 2018, 00:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 фев 2017, 18:53
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте!

Имеем постоянное число М и ряд с общим членом a_k/k,
где k=1,2...n,
а a_k число, равное либо 0, либо 1.
Требуется найти количество возможных комбинаций a_k, при которых для заранее фиксированных n и M, n-ая частичная сумма ряда не превышает числа M.

Скажу честно, идей совершенно нет, буду рада любым догадкам.
Заранее спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма неполного гармонического ряда
СообщениеДобавлено: 17 янв 2018, 13:04 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 677
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
173 раз в 164 сообщениях
Очков репутации: 66

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MAdeodata писал(а):
Здравствуйте!

Имеем постоянное число М и ряд с общим членом a_k/k,
где k=1,2...n,
а a_k число, равное либо 0, либо 1.
Требуется найти количество возможных комбинаций a_k, при которых для заранее фиксированных n и M, n-ая частичная сумма ряда не превышает числа M.

Скажу честно, идей совершенно нет, буду рада любым догадкам.
Заранее спасибо.

Понимаете, если говорить о n-ая частичная сума, то у Вас надо имет n отличных от 0 членов, а это значить, что [math]a_{1}, a_{2}, ... ,a_{n}[/math] надо все будуть отличных от нулья! А это наводить на мысль , что надо в знаменателя стоит какое другое натурального число больше к т.е. [math]\frac{ a_{k} }{ N }[/math] , где N [math]> k[/math] ! Это в первом;
2) При каждом заранее фиксированных n и M, N будеть функция от их т.е. N(n, M);
3) Все [math]a_{k}[/math] = 1, понимаете если [math]a_{k}[/math] = 0, то и [math]\frac{a _{k} }{ N } = 0[/math] , а это значить что в сумме будут не n членов, а (n-1) и это не будеть n-ая частичная сумма, а (n-1)-ая. Если Вы это поняли дальше надо
разсуждать, какие комбинации чисель [math]N_{1}(n,M), N_{2}(n,M), ..., N_{n}(n,M)[/math], возможны такие что
[math]\frac{ 1 }{N_{1}}[/math] + [math]\frac{ 1 }{N_{2}}[/math] + ... + [math]\frac{ 1 }{N_{n}}[/math] [math]\leqslant M[/math]
Пример :1) Если скажем M = 1, а n = 1, то очевидно что для каждого [math]N_{1}[/math] [math]\geqslant M[/math] , [math]\frac{ 1 }{ N_{1} }[/math] [math]\leqslant M[/math] , т.е. для каждого [math]N_{1}[/math] больше 1 условие выпольнено;
2) Если М = 1, n = 2, то [math]N_{1}[/math] [math]\geqslant 2M[/math], [math]N_{2}[/math] [math]> N_{1}[/math] и
[math]\frac{ 1 }{ N_{1} }[/math] + [math]\frac{ 1 }{ N_{2} }[/math] [math]< M[/math] , т.е. для любых [math]N_{1}[/math] и[math]N_{2}[/math] больше 2, ([math]N_{1}[/math] [math]< N_{2}[/math] [math]<[/math] ... [math]< N_{n}[/math] , так как реч идет о часть хармоничного ряда )

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма неполного гармонического ряда
СообщениеДобавлено: 17 янв 2018, 21:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 фев 2017, 18:53
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Под n-ой частичной суммой подразумевается сумма первых n членов ряда, даже если некоторые из них (или даже все) равны нулю.

Приведу пример такой.

Пусть n=4, M=2
Тогда, например, можно взять
a_1=1,
a_2=a_3=a_4=0
то есть 1/1+0/2+0/3+0/4=1<2.

Можно взять a_1=a_3=1, а остальные 0
1/1+0/2+1/3+0/4=4/3<2.

Вариант a_1=a_2=a_3=a_4=1 не подходит, так как
1/1+1/2+1/3+1/4>2
и т.д.

Так вот, нужно найти количество "подходящих" комбинаций для фиксированных n и M.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма неполного гармонического ряда
СообщениеДобавлено: 17 янв 2018, 23:00 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 677
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
173 раз в 164 сообщениях
Очков репутации: 66

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MAdeodata писал(а):
Под n-ой частичной суммой подразумевается сумма первых n членов ряда, даже если некоторые из них (или даже все) равны нулю.

Приведу пример такой.

Пусть n=4, M=2
Тогда, например, можно взять
a_1=1,
a_2=a_3=a_4=0
то есть 1/1+0/2+0/3+0/4=1<2.

Можно взять a_1=a_3=1, а остальные 0
1/1+0/2+1/3+0/4=4/3<2.

Вариант a_1=a_2=a_3=a_4=1 не подходит, так как
1/1+1/2+1/3+1/4>2
и т.д.

Так вот, нужно найти количество "подходящих" комбинаций для фиксированных n и M.


Если a_1 = 1
a_2=a_3=a_4=0
то первая частичная сума a_1 = 1, а четвертая частичная сума 1/1+0/2+0/3+0/4 = 1 т.е. одно и тоже! Они не отличаются!
а если и a_5 = 0, a_6 = 0, ... , a_n = 0 то и 1/1 + 0/2 + 0/3 + ... + 0/n = 1, но это бряд!
По вашему коя будеть 5-ая частичная сумма ряда 1 + 1/3 + 1/ 5 + 1/ 7 + 1/9 + ... ?
Можно говорить так : Сколько сочетании от чисел 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n ( при заданом n и M) есть, такие что сумма членов каждого сочетание не привосходила М, но это совсем другое дела! Здесь никак не идет дела об n-ая частичная сумма гармоничного ряда! Здесь принципиальная разница! Последняя чисто комбинаторная проблема и не надо путать с n-ой частичной сумме гармоничного ряда !
Если такая постановка Вам удовлетьворяет то будем попробовать решать проблему!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма неполного гармонического ряда
СообщениеДобавлено: 18 янв 2018, 00:35 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 1022
Cпасибо сказано: 67
Спасибо получено:
177 раз в 160 сообщениях
Очков репутации: 28

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
Можно говорить так : Сколько сочетании от чисел 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n ( при заданом n и M) есть, такие что сумма членов каждого сочетание не привосходила М, но это совсем другое дела! Здесь никак не идет дела об n-ая частичная сумма гармоничного ряда! Здесь принципиальная разница! Последняя чисто комбинаторная проблема и не надо путать с n-ой частичной сумме гармоничного ряда !

Думаю, именно такая постановка. Проблема комбинаторная лишь наполовину, надо по крайней мере знать формулу n-ной частичной суммы ГР и как-то манипулировать с суммой аликвотных дробей (т.е. дробей вида [math]\frac{1}{n}[/math]). Любопытная задачка, древние египтяне именно так представляли дроби.
MAdeodata, а откуда задача?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сходимость гармонического ряда абсолютных величин

в форуме Ряды

andreinmoscow

6

316

21 мар 2013, 17:45

Сумма ряда

в форуме Ряды

Meteri

0

264

27 фев 2013, 18:30

Сумма ряда

в форуме Ряды

Meteri

2

238

27 фев 2013, 17:14

Сумма ряда

в форуме Ряды

oksanakurb

5

452

10 апр 2013, 21:50

Сумма ряда

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

4

353

17 фев 2014, 13:06

Сумма ряда

в форуме Ряды

zds

3

310

01 май 2013, 17:49

Сумма ряда

в форуме Ряды

mma689

2

165

04 апр 2016, 11:48

Сумма ряда

в форуме Ряды

Alina321

3

290

16 янв 2014, 14:41

Сумма ряда

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

18

1009

27 июл 2013, 14:29

Сумма ряда

в форуме Ряды

rmaboroda

3

303

25 июл 2013, 12:38


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved