Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить разложениями в ряд Маклорена
СообщениеДобавлено: 05 янв 2018, 18:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 янв 2018, 09:22
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
8. Пользуясь разложениями в ряд Маклорена функций, вычислить с точностью до 0,001:

[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math](ln(1+x)\slash x[/math])dx

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить разложениями в ряд Маклорена
СообщениеДобавлено: 05 янв 2018, 19:35 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как я понял, должен быть знак интеграла, а не суммы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить разложениями в ряд Маклорена
СообщениеДобавлено: 05 янв 2018, 19:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 янв 2018, 09:22
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
та да,запарился [math]\int\limits_{0}^{0.1}[/math](ln(1+x)/x)dx

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить разложениями в ряд Маклорена
СообщениеДобавлено: 06 янв 2018, 02:39 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Посмотрите в Википедии ряд Макларена, очень просто прийти к формуле:

[math]\frac{\ln(1+x)}{x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\,x^n}{n+1}[/math]

Возьмите неопределенный интеграл и получите

[math]\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\,x^{n+1}}{(n+1)^2}[/math]

С любой точностью можно найти результат, подставив пределы.
Например, при 6 членах ряда:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum((-1)%5En*0.1%5E(n%2B1)%2F(n%2B1)%5E2,n%3D0..6)
Точное значение: 0.09760523523...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить разложениями в ряд Маклорена
СообщениеДобавлено: 06 янв 2018, 08:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 янв 2018, 09:22
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
все это очень просто,когда вышку учишь 2 года,а не за 3 дня до сессии))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить разложениями в ряд Маклорена
СообщениеДобавлено: 06 янв 2018, 11:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 янв 2018, 09:22
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а можно как то поподробней,а то совсем непонятно.в контрольную этого мало!(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить разложениями в ряд Маклорена
СообщениеДобавлено: 06 янв 2018, 14:06 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
подробно так. Вам дана функция f(x). Нужно составить ряд Маклорена:

[math]f(0)+f'(0)\frac{x}{1!}+f''(0)\frac{x^2}{2!}+f'''(0)\frac{x^3}{3!}+...\qquad (1)[/math]

То есть первый член - это предел [math]f(0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1[/math]

Второй член - это берете производную от вашей функции и опять находите предел в нуле (я получил его равным -1/2)

Третий член - берете вторую производную от вашей функции и опять предел в нуле ( получил его 2/3 )

Четвертый - ..... (получил коэффициент -3/2).
И так далее. Эти коэффициенты подставляю в ( 1) и будет окончательно ряд:

[math]\frac{\ln(1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+\frac{x^4}{5}-...[/math]

А производные, думаю, Вас учили как брать.

Если коэффициенты эти трудно вычислять, то можете например в Вольфраме найти коэффициент для четвертой производной:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(ln(1%2Bx)%2Fx)%27%27%27%27++where+x%3D0

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
kvant87
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить разложениями в ряд Маклорена
СообщениеДобавлено: 07 янв 2018, 23:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 дек 2011, 18:32
Сообщений: 2466
Откуда: Украина, Одесса
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
698 раз в 602 сообщениях
Очков репутации: 186

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
kvant87
Все очень просто.
Для логарифма известно разложение в степенной ряд. Так как интервал интегрирования принадлежит области сходимости, то ряд можно почленно интегрировать.
Проинтегрировав каждый член ряда, Вы получите новый ряд - знакочередующийся.
Таким образом, интеграл равен сумме этого ряда.
Чтобы вычислить значение интеграла с точностью до 0.001, Вы должны взять конечную сумму [math]N[/math] первых членов ряда.
Как определить это число [math]N[/math]? Отброшенный остаток ряда не должен превышать величину ошибки, т.е. 0.001.
Как известно, сумма остатка знакочередующегося ряда меньше первого отброшенного члена.
Отсюда и получаем правило: Как только член ряда станет меньше 0.001, то суммирование можно прекращать и получившаяся сумма - приблизительное значение интеграла.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Пользуясь осн. разложениями вычислить прибл. знач.

в форуме Ряды

lyutikovvlad

3

338

30 май 2021, 21:32

Ряд Маклорена

в форуме Ряды

kristalliks

4

146

14 июн 2023, 02:30

Ряд Маклорена

в форуме Ряды

Dana199

0

244

02 ноя 2015, 16:12

Ряд Маклорена

в форуме Ряды

greeendooor

3

410

12 июн 2017, 17:59

Ряд Маклорена.

в форуме Ряды

diana kormuhyna

1

262

15 май 2016, 17:02

Ряд маклорена

в форуме Ряды

lc2

1

240

10 июл 2019, 16:27

Ряд Маклорена

в форуме Ряды

Marina11111

2

299

02 фев 2020, 21:40

Разложить в ряд Маклорена

в форуме Ряды

umka1989umka

8

322

13 авг 2017, 19:56

Разложить в ряд Маклорена

в форуме Ряды

alex-rudenkiy

3

382

07 янв 2019, 14:17

О неравенстве Маклорена

в форуме Литература и Онлайн-ресурсы по математике

Tantan

7

446

11 апр 2020, 21:47


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved