Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить разложениями в ряд Маклорена
СообщениеДобавлено: 05 янв 2018, 19:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 янв 2018, 10:22
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
8. Пользуясь разложениями в ряд Маклорена функций, вычислить с точностью до 0,001:

[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math](ln(1+x)\slash x[/math])dx

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить разложениями в ряд Маклорена
СообщениеДобавлено: 05 янв 2018, 20:35 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как я понял, должен быть знак интеграла, а не суммы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить разложениями в ряд Маклорена
СообщениеДобавлено: 05 янв 2018, 20:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 янв 2018, 10:22
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
та да,запарился [math]\int\limits_{0}^{0.1}[/math](ln(1+x)/x)dx

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить разложениями в ряд Маклорена
СообщениеДобавлено: 06 янв 2018, 03:39 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Посмотрите в Википедии ряд Макларена, очень просто прийти к формуле:

[math]\frac{\ln(1+x)}{x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\,x^n}{n+1}[/math]

Возьмите неопределенный интеграл и получите

[math]\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\,x^{n+1}}{(n+1)^2}[/math]

С любой точностью можно найти результат, подставив пределы.
Например, при 6 членах ряда:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum((-1)%5En*0.1%5E(n%2B1)%2F(n%2B1)%5E2,n%3D0..6)
Точное значение: 0.09760523523...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить разложениями в ряд Маклорена
СообщениеДобавлено: 06 янв 2018, 09:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 янв 2018, 10:22
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
все это очень просто,когда вышку учишь 2 года,а не за 3 дня до сессии))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить разложениями в ряд Маклорена
СообщениеДобавлено: 06 янв 2018, 12:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 янв 2018, 10:22
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а можно как то поподробней,а то совсем непонятно.в контрольную этого мало!(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить разложениями в ряд Маклорена
СообщениеДобавлено: 06 янв 2018, 15:06 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
подробно так. Вам дана функция f(x). Нужно составить ряд Маклорена:

[math]f(0)+f'(0)\frac{x}{1!}+f''(0)\frac{x^2}{2!}+f'''(0)\frac{x^3}{3!}+...\qquad (1)[/math]

То есть первый член - это предел [math]f(0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1[/math]

Второй член - это берете производную от вашей функции и опять находите предел в нуле (я получил его равным -1/2)

Третий член - берете вторую производную от вашей функции и опять предел в нуле ( получил его 2/3 )

Четвертый - ..... (получил коэффициент -3/2).
И так далее. Эти коэффициенты подставляю в ( 1) и будет окончательно ряд:

[math]\frac{\ln(1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+\frac{x^4}{5}-...[/math]

А производные, думаю, Вас учили как брать.

Если коэффициенты эти трудно вычислять, то можете например в Вольфраме найти коэффициент для четвертой производной:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(ln(1%2Bx)%2Fx)%27%27%27%27++where+x%3D0

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
kvant87
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить разложениями в ряд Маклорена
СообщениеДобавлено: 08 янв 2018, 00:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 дек 2011, 19:32
Сообщений: 2432
Откуда: Украина, Одесса
Cпасибо сказано: 541
Спасибо получено:
684 раз в 590 сообщениях
Очков репутации: 185

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
kvant87
Все очень просто.
Для логарифма известно разложение в степенной ряд. Так как интервал интегрирования принадлежит области сходимости, то ряд можно почленно интегрировать.
Проинтегрировав каждый член ряда, Вы получите новый ряд - знакочередующийся.
Таким образом, интеграл равен сумме этого ряда.
Чтобы вычислить значение интеграла с точностью до 0.001, Вы должны взять конечную сумму [math]N[/math] первых членов ряда.
Как определить это число [math]N[/math]? Отброшенный остаток ряда не должен превышать величину ошибки, т.е. 0.001.
Как известно, сумма остатка знакочередующегося ряда меньше первого отброшенного члена.
Отсюда и получаем правило: Как только член ряда станет меньше 0.001, то суммирование можно прекращать и получившаяся сумма - приблизительное значение интеграла.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Пользуясь соответствующими разложениями, вычислить

в форуме Ряды

s070209010

9

441

05 июл 2013, 11:58

Ряд Маклорена

в форуме Ряды

Dana199

0

126

02 ноя 2015, 17:12

Ряд маклорена

в форуме Ряды

pronyn

9

1228

01 апр 2013, 02:55

Ряд Маклорена.

в форуме Ряды

diana kormuhyna

1

98

15 май 2016, 18:02

Ряд Маклорена

в форуме Ряды

greeendooor

3

123

12 июн 2017, 18:59

Разложение в ряд Маклорена

в форуме Ряды

Traveller

4

524

16 мар 2013, 19:11

Разложить в ряд Маклорена

в форуме Ряды

Sasha_

6

248

09 дек 2013, 18:28

Ряд Тейлора и Маклорена

в форуме Ряды

alex_mench

11

570

11 янв 2014, 14:43

Формула Маклорена

в форуме Ряды

RikkiTan1

3

282

15 дек 2013, 21:06

Разложить в ряд Маклорена

в форуме Ряды

ti_mka

1

201

08 дек 2013, 17:14


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved