Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказательство, сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 22 дек 2017, 12:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 ноя 2017, 19:49
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение
Номер 15.31.
Вроде понятно, что похоже на признак Абеля, но доказать до конца все равно не выходит.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство, сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 22 дек 2017, 23:04 
В сети
Профи
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 350
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 112 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не знаю, можно ли свести это к признаку Абеля. Но есть другая идея.

Введем обозначения:
[math]S_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} a_k b_k[/math]
[math]B_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} a_k b_k[/math]

По условию существует предел [math]B_n[/math]. Тогда последовательность [math]B_n[/math] ограничена некоторым положительным числом [math]M[/math]. То есть [math]\left| B_n \right| \leqslant M[/math].

Также по условию абсолютно сходится ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n - a_{n+1})[/math], а значит он сходится и в обычном смысле. [math]\sum\limits_{k = 1}^{n}(a_n - a_{n+1}) = a_1 - a_{n+1}[/math]. Таким образом, [math]a_{n+1} = a_1 - \sum\limits_{k = 1}^{n}(a_n - a_{n+1})[/math], следовательно, последовательность [math]a_n[/math] сходится.

Теперь преобразуем выражение для [math]S_n[/math].
[math]S_n = a_n B_n + \sum\limits_{k = 1}^{n-1} (a_k - a_{k+1}) B_k[/math]

Первое слагаемое сходится как произведение (почленное) сходящихся последовательностей. Второе сходится абсолютно:
[math]\left| a_n - a_{n+1} B_n \right| \leqslant \left| a_n - a_{n+1} \right| \cdot M[/math]. Так как ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}\left| a_n - a_{n+1}\right|[/math] сходится, то сходится и [math]\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \left|(a_n - a_{n+1}) B_n \right|[/math]. Тогда сходится [math]S_n[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
DorianT
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сходимость рядов

в форуме Ряды

Sannyore

6

351

09 май 2012, 23:16

Сходимость рядов

в форуме Ряды

Vitani

1

83

14 май 2017, 14:28

Сходимость рядов

в форуме Ряды

Porchs

1

226

20 янв 2014, 15:24

Сходимость рядов

в форуме Ряды

arreke

5

349

14 май 2012, 08:18

Сходимость рядов

в форуме Ряды

Vlad_gribanov

1

170

24 дек 2013, 00:42

Сходимость рядов

в форуме Ряды

arreke

1

224

14 май 2012, 09:04

Сходимость рядов

в форуме Ряды

Katrich

35

980

08 ноя 2013, 00:01

Сходимость рядов

в форуме Ряды

Nataliya

6

357

13 мар 2014, 19:03

Сходимость рядов

в форуме Ряды

Evgeniya Sidorenko

8

410

12 фев 2014, 12:36

Сходимость рядов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Evgeniya Sidorenko

1

186

12 фев 2014, 12:38


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved