Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказательство, сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 22 дек 2017, 12:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 ноя 2017, 19:49
Сообщений: 16
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение
Номер 15.31.
Вроде понятно, что похоже на признак Абеля, но доказать до конца все равно не выходит.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство, сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 22 дек 2017, 23:04 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 534
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
171 раз в 159 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не знаю, можно ли свести это к признаку Абеля. Но есть другая идея.

Введем обозначения:
[math]S_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} a_k b_k[/math]
[math]B_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} a_k b_k[/math]

По условию существует предел [math]B_n[/math]. Тогда последовательность [math]B_n[/math] ограничена некоторым положительным числом [math]M[/math]. То есть [math]\left| B_n \right| \leqslant M[/math].

Также по условию абсолютно сходится ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n - a_{n+1})[/math], а значит он сходится и в обычном смысле. [math]\sum\limits_{k = 1}^{n}(a_n - a_{n+1}) = a_1 - a_{n+1}[/math]. Таким образом, [math]a_{n+1} = a_1 - \sum\limits_{k = 1}^{n}(a_n - a_{n+1})[/math], следовательно, последовательность [math]a_n[/math] сходится.

Теперь преобразуем выражение для [math]S_n[/math].
[math]S_n = a_n B_n + \sum\limits_{k = 1}^{n-1} (a_k - a_{k+1}) B_k[/math]

Первое слагаемое сходится как произведение (почленное) сходящихся последовательностей. Второе сходится абсолютно:
[math]\left| a_n - a_{n+1} B_n \right| \leqslant \left| a_n - a_{n+1} \right| \cdot M[/math]. Так как ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}\left| a_n - a_{n+1}\right|[/math] сходится, то сходится и [math]\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \left|(a_n - a_{n+1}) B_n \right|[/math]. Тогда сходится [math]S_n[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
DorianT
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сходимость рядов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Evgeniya Sidorenko

1

204

12 фев 2014, 12:38

Сходимость рядов

в форуме Ряды

Vitani

1

112

14 май 2017, 14:28

Сходимость рядов

в форуме Ряды

deus

3

292

21 дек 2012, 17:59

Сходимость рядов

в форуме Ряды

Katrich

35

1045

08 ноя 2013, 00:01

Сходимость рядов

в форуме Ряды

math_unior_99

2

228

25 мар 2014, 22:17

Сходимость рядов

в форуме Ряды

graft

1

123

02 дек 2015, 09:36

Сходимость рядов

в форуме Ряды

Evgeniya Sidorenko

8

441

12 фев 2014, 12:36

Сходимость рядов

в форуме Ряды

borntank

5

242

27 апр 2013, 16:03

Сходимость рядов

в форуме Ряды

Lina_Vls

4

220

15 апр 2014, 16:45

Сходимость рядов

в форуме Ряды

Barabash

1

223

01 ноя 2013, 15:16


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved