Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Равномерная сходимость
СообщениеДобавлено: 15 дек 2017, 13:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2017, 11:31
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день. Второй день решаю простенькую задачку, но что-то никак не могу добить ее.
Задача состоит в том, чтобы узнать равномерно ли сходится последовательность функции или нет.

[math]f_{n}[/math] =[math]\frac{ (n+x)^{2} }{ x^{2}-n^{2} - nx }[/math]

На [math]E_{1}[/math] = (0,2)
На [math]E_{2}[/math] = [2, [math]\infty[/math] )

На [math]E_{1}[/math] , поступил так:
Очевидно что [math]f_{n}[/math] стремится к -1, при n стремящ к бесконечности
Найдем супремум:
[math]\sup[/math]([math]f_{n}[/math] +[math]1[/math]) < [math]\frac{ 2x^{2} +nx }{ x^{2}-n(n+x) }[/math]
Он стремится нулю, при n стремящ к бесконечности
Значит равномерная сходимость есть

А вот как с [math]E_{2}[/math], я что-то не могу сообразить, поэтому прошу помочь. Заранее спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Равномерная сходимость
СообщениеДобавлено: 15 дек 2017, 15:41 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 549
Cпасибо сказано: 66
Спасибо получено:
175 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 33

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
khammisha писал(а):
Найдем супремум:
[math]\sup[/math]([math]f_{n}[/math] +[math]1[/math]) < [math]\frac{ 2x^{2} +nx }{ x^{2}-n(n+x) }[/math]

Уточните, это супремум какого множества и как он связан с равномерной сходимостью?

Следует найти [math]\sup_{x \in E} \left| f_n(x) + 1\right|[/math] или оценить его сверху. Если [math]E = E_2 = [2, +\infty)[/math], то при [math]x \to \frac{1 +\sqrt{5}}{2}n[/math] будет [math]f_n(x) + 1 \to \infty[/math], откуда [math]\sup_{x \in E_2}\left| f_n(x) + 1\right| = \infty[/math]. Сходимость на [math]E_2[/math] неравномерная.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Равномерная сходимость
СообщениеДобавлено: 15 дек 2017, 17:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2017, 11:31
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
khammisha писал(а):
Найдем супремум:
[math]\sup[/math]([math]f_{n}[/math] +[math]1[/math]) < [math]\frac{ 2x^{2} +nx }{ x^{2}-n(n+x) }[/math]

Уточните, это супремум какого множества и как он связан с равномерной сходимостью?


Супремум множества E1. Связан с равномерной сходимостью, так как он стремится к нулю, при n->бесконечности, разве нет
?

Space писал(а):
khammisha писал(а):
Следует найти [math]\sup_{x \in E} \left| f_n(x) + 1\right|[/math] или оценить его сверху. Если [math]E = E_2 = [2, +\infty)[/math], то при [math]x \to \frac{1 +\sqrt{5}}{2}n[/math] будет [math]f_n(x) + 1 \to \infty[/math], откуда [math]\sup_{x \in E_2}\left| f_n(x) + 1\right| = \infty[/math]. Сходимость на [math]E_2[/math] неравномерная.

Спасибо. А не могли бы Вы уточнить откуда взялось [math]x \to \frac{1 +\sqrt{5}}{2}n[/math] ?)
Заранее спасибо за ответ

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Равномерная сходимость
СообщениеДобавлено: 15 дек 2017, 17:45 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 549
Cпасибо сказано: 66
Спасибо получено:
175 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 33

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
khammisha писал(а):
Супремум множества E1.

[math]E_1 = (0,2)[/math]. Супремум этого множества равен 2. И это значение нам ни о чем не говорит. Запись же [math]\sup_{x \in E_1} \left| f_n(x) + 1\right|[/math] означает супремум множества значений [math]\left| f_n(x) + 1\right|[/math], соответствующих всем [math]x \in E_1[/math], при фиксированном [math]n[/math]. Иными словами, [math]\sup_{x \in E_1} \left| f_n(x) + 1\right| = \sup \left\{y = \left| f_n(x) + 1\right| | x \in E_1 \right\}[/math].

khammisha писал(а):
А не могли бы Вы уточнить откуда взялось [math]x \to \frac{1 +\sqrt{5}}{2}n[/math] ?

Это всего лишь ноль знаменателя выражения [math]\frac{(n+x)^{2}}{x^{2}-n^{2}- nx} = f_n(x)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Равномерная сходимость
СообщениеДобавлено: 15 дек 2017, 18:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2017, 11:31
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, спасибо большое. Извините за неточность)В своем первом сообщении я неправильно написал, нужно:
[math]\sup_{x \in E_1} \left| f_n(x) + 1\right|[/math] [math]<[/math] [math]\frac{ 2(n+4) }{ n(n+2)-4 }[/math] [math]\to 0[/math], при [math]n \to \infty[/math] ,отсюда вытекает равномерная сходимость на E1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Равномерная сходимость

в форуме Ряды

petkosser

0

128

12 дек 2015, 16:18

Равномерная сходимость

в форуме Ряды

Stasya7

2

166

23 окт 2014, 15:56

Абсолютная и равномерная сходимость

в форуме Ряды

-Student--

2

212

12 май 2014, 00:11

Равномерная сходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

lampard

3

266

21 дек 2012, 20:31

Равномерная сходимость несобственного

в форуме Интегральное исчисление

tanyhaftv

1

59

02 апр 2018, 00:18

Равномерная сходимость ряда

в форуме Ряды

DorianT

1

163

22 ноя 2017, 19:01

Равномерная сходимость ряда ln

в форуме Ряды

RikkiTan1

4

316

18 ноя 2014, 08:13

Равномерная сходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

kiss_of_life

5

361

05 дек 2012, 18:32

Равномерная сходимость ряда на R

в форуме Ряды

dark_ai

3

232

25 май 2012, 14:56

Равномерная сходимость последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ylia13

4

92

22 янв 2018, 16:44


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved