Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=57191
Страница 1 из 2

Автор:  Wulran [ 11 дек 2017, 21:03 ]
Заголовок сообщения:  Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда

Добрый день, хотел бы разобраться в двух задачках
1)

[math]\sum\limits_{1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{sin^{2}{n} }{ \sqrt{n} }[/math]

С абсолютной сходимостью проблем не возникло, достаточно воспользоваться формулой понижения степени. Но проблема с условной сходимостью. Я воспользовался признаком Лейбница, но получилось, что ряд расходится (вольфрам говорит что сходится).

2)

[math]\sum\limits_{1}^{\infty } \sin({ \pi n + \frac{ \pi }{ 4} }) * \ln({1 + \frac{ 1 }{ n } })[/math]

Здесь проблема с синусом. У меня не получается его разобрать чтобы можно было по Лейбницу доказать условную сходимость. А по абсолютной я думаю что нужно воспользоваться интегральным признаком, т.к. видимо другие признаки его не берут

Автор:  Radley [ 11 дек 2017, 21:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда

1. Мне кажется, что ряд можно сравнить с рядом [math]\sum \frac{(-1) ^{n} }{ \sqrt{n} }[/math], сходящимся условно.

2. Здесь нужно преобразовать синус суммы и заменить логарифм по эквивалентности, тогда получается ряд [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math] [math]\sum \frac{ (-1)^{n} }{ n }[/math], также сходящийся условно.

Автор:  venjar [ 11 дек 2017, 22:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда

Wulran писал(а):



[math]\sum\limits_{1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{sin^{2}{n} }{ \sqrt{n} }[/math]

С абсолютной сходимостью проблем не возникло, достаточно воспользоваться формулой понижения степени.


Действительно, абсолютной сходимости нет. Но доказательство этого не столь тривиально, поскольку просит использования признака Дирихле после разбиения ряда на разность двух рядов (один расходится, другой сходится).

Wulran писал(а):



[math]\sum\limits_{1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{sin^{2}{n} }{ \sqrt{n} }[/math]

Но проблема с условной сходимостью. Я воспользовался признаком Лейбница, но получилось, что ряд расходится (вольфрам говорит что сходится).



Условная сходимость действительно есть. Ряд (удвоенный) представляется в виде разности двух сходящихся рядов:

[math]\sum\limits_{1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{1 }{ \sqrt{n} }[/math]
и
[math]\sum\limits_{1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{\cos 2n }{ \sqrt{n} }[/math].

Попробуйте по признаку Дирихле доказать, что второй ряд тоже сходится, доказав ограниченность сумм
[math]\sum\limits_{1}^{N} (-1)^{n} \cdot \cos 2n[/math].

Автор:  Wulran [ 11 дек 2017, 22:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда

По поводу абсолютной сходимости первого:
У меня получилась разность [math]1 \slash \sqrt{n} - \cos{2 \alpha } \slash \sqrt{n}[/math]
Получилось что оба расходятся, первый по признаку сходимости, второй по Раабе

Автор:  venjar [ 11 дек 2017, 22:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда

Wulran писал(а):
По поводу абсолютной сходимости первого:
У меня получилась разность [math]1 \slash \sqrt{n} - \cos{2 \alpha } \slash \sqrt{n}[/math]
Получилось что оба расходятся, первый по признаку сходимости, второй по Раабе

Во-первых, разность двух расходящихся рядов вполне может быть сходящейся. Во-вторых, второй ряд является сходящимся.

Автор:  Wulran [ 11 дек 2017, 22:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда

Т.е. нужно проверить разность на сходимость используя признак Дирихле?

Автор:  venjar [ 11 дек 2017, 23:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда

Нет, нужно доказать три утверждения:

1. Первый ряд расходится.
2. Второй ряд сходится.
3. Разность расходящегося и сходящегося ряда всегда расходится.

Автор:  Wulran [ 13 дек 2017, 16:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда

Не очень понимаю как доказать сходимость [math]\cos{nx} \slash \sqrt{n}[/math]. Но если это доказать, то если бы первоначальный ряд сходился, то мы бы получили бы противоречие по теореме о сумме\разности сходящихся рядов.

Вообще я думаю может ли нам помочь тот факт, что у [math]\sum\limits_{1}^{n} \cos{nx} \slash n^{p}[/math] область неабсолютной сходимости [math]\left( 0;1 \right][/math] ,т.к. 2 < [math]\pi[/math]

Поправьте меня если я сейчас что-то буду врать, но насколько я понимаю по Дирихле ряд [math]\cos{nx} \slash \sqrt{n}[/math] , будет сходиться, ведь косинусы ограничены, а 1 [math]\slash \sqrt{n}[/math] монотонно стремится к 0

Автор:  venjar [ 13 дек 2017, 20:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда

Wulran писал(а):

насколько я понимаю по Дирихле ряд [math]\cos{nx} \slash \sqrt{n}[/math] , будет сходиться, ведь косинусы ограничены, а 1 [math]\slash \sqrt{n}[/math] монотонно стремится к 0


Разве там требуется ограниченность одного из сомножителей общего члена ряда?
Странно, что вы даже не удосужились прочесть условия признака Дирихле.
Поэтому сразу пропадает желание помогать.

Автор:  Wulran [ 14 дек 2017, 13:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда

Признак Дирихле говорит, что ряд ограничен в том случае, если частичные суммы ряда An ограничены в совокупности, а bn монотонно стремится к 0 если n -> к бесконечности, то ряд Anbn сходится. Поэтому не стоит говорить, что я не заглядывал в книжку и не знаю признака Дирихле.
Я хочу понять правильно ли я применил его, из-за этого в общем то я и образаюсь за помощью, чтобы разъяснить то что мне непонятно.

Однако я продолжу свое рассуждение. Я свел ряд до (-1)[math]^{n} \slash \sqrt{n}[/math], как было предложено несколькими ответами раньше. Я хочу понять, что значит частичные суммы ограничены в совокупности. Насколько я понимаю любую частичную сумму (-1)[math]^{n}[/math] можно ограничить сверху, скажем, 1?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/