Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Wulran |
|
|
1) [math]\sum\limits_{1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{sin^{2}{n} }{ \sqrt{n} }[/math] С абсолютной сходимостью проблем не возникло, достаточно воспользоваться формулой понижения степени. Но проблема с условной сходимостью. Я воспользовался признаком Лейбница, но получилось, что ряд расходится (вольфрам говорит что сходится). 2) [math]\sum\limits_{1}^{\infty } \sin({ \pi n + \frac{ \pi }{ 4} }) * \ln({1 + \frac{ 1 }{ n } })[/math] Здесь проблема с синусом. У меня не получается его разобрать чтобы можно было по Лейбницу доказать условную сходимость. А по абсолютной я думаю что нужно воспользоваться интегральным признаком, т.к. видимо другие признаки его не берут |
||
Вернуться к началу | ||
Radley |
|
|
1. Мне кажется, что ряд можно сравнить с рядом [math]\sum \frac{(-1) ^{n} }{ \sqrt{n} }[/math], сходящимся условно.
2. Здесь нужно преобразовать синус суммы и заменить логарифм по эквивалентности, тогда получается ряд [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math] [math]\sum \frac{ (-1)^{n} }{ n }[/math], также сходящийся условно. |
||
Вернуться к началу | ||
venjar |
|
|
Wulran писал(а): [math]\sum\limits_{1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{sin^{2}{n} }{ \sqrt{n} }[/math] С абсолютной сходимостью проблем не возникло, достаточно воспользоваться формулой понижения степени. Действительно, абсолютной сходимости нет. Но доказательство этого не столь тривиально, поскольку просит использования признака Дирихле после разбиения ряда на разность двух рядов (один расходится, другой сходится). Wulran писал(а): [math]\sum\limits_{1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{sin^{2}{n} }{ \sqrt{n} }[/math] Но проблема с условной сходимостью. Я воспользовался признаком Лейбница, но получилось, что ряд расходится (вольфрам говорит что сходится). Условная сходимость действительно есть. Ряд (удвоенный) представляется в виде разности двух сходящихся рядов: [math]\sum\limits_{1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{1 }{ \sqrt{n} }[/math] и [math]\sum\limits_{1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{\cos 2n }{ \sqrt{n} }[/math]. Попробуйте по признаку Дирихле доказать, что второй ряд тоже сходится, доказав ограниченность сумм [math]\sum\limits_{1}^{N} (-1)^{n} \cdot \cos 2n[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
Wulran |
|
|
По поводу абсолютной сходимости первого:
У меня получилась разность [math]1 \slash \sqrt{n} - \cos{2 \alpha } \slash \sqrt{n}[/math] Получилось что оба расходятся, первый по признаку сходимости, второй по Раабе |
||
Вернуться к началу | ||
venjar |
|
|
Wulran писал(а): По поводу абсолютной сходимости первого: У меня получилась разность [math]1 \slash \sqrt{n} - \cos{2 \alpha } \slash \sqrt{n}[/math] Получилось что оба расходятся, первый по признаку сходимости, второй по Раабе Во-первых, разность двух расходящихся рядов вполне может быть сходящейся. Во-вторых, второй ряд является сходящимся. |
||
Вернуться к началу | ||
Wulran |
|
|
Т.е. нужно проверить разность на сходимость используя признак Дирихле?
|
||
Вернуться к началу | ||
venjar |
|
|
Нет, нужно доказать три утверждения:
1. Первый ряд расходится. 2. Второй ряд сходится. 3. Разность расходящегося и сходящегося ряда всегда расходится. |
||
Вернуться к началу | ||
Wulran |
|
|
Не очень понимаю как доказать сходимость [math]\cos{nx} \slash \sqrt{n}[/math]. Но если это доказать, то если бы первоначальный ряд сходился, то мы бы получили бы противоречие по теореме о сумме\разности сходящихся рядов.
Вообще я думаю может ли нам помочь тот факт, что у [math]\sum\limits_{1}^{n} \cos{nx} \slash n^{p}[/math] область неабсолютной сходимости [math]\left( 0;1 \right][/math] ,т.к. 2 < [math]\pi[/math] Поправьте меня если я сейчас что-то буду врать, но насколько я понимаю по Дирихле ряд [math]\cos{nx} \slash \sqrt{n}[/math] , будет сходиться, ведь косинусы ограничены, а 1 [math]\slash \sqrt{n}[/math] монотонно стремится к 0 |
||
Вернуться к началу | ||
venjar |
|
|
Wulran писал(а): насколько я понимаю по Дирихле ряд [math]\cos{nx} \slash \sqrt{n}[/math] , будет сходиться, ведь косинусы ограничены, а 1 [math]\slash \sqrt{n}[/math] монотонно стремится к 0 Разве там требуется ограниченность одного из сомножителей общего члена ряда? Странно, что вы даже не удосужились прочесть условия признака Дирихле. Поэтому сразу пропадает желание помогать. |
||
Вернуться к началу | ||
Wulran |
|
|
Признак Дирихле говорит, что ряд ограничен в том случае, если частичные суммы ряда An ограничены в совокупности, а bn монотонно стремится к 0 если n -> к бесконечности, то ряд Anbn сходится. Поэтому не стоит говорить, что я не заглядывал в книжку и не знаю признака Дирихле.
Я хочу понять правильно ли я применил его, из-за этого в общем то я и образаюсь за помощью, чтобы разъяснить то что мне непонятно. Однако я продолжу свое рассуждение. Я свел ряд до (-1)[math]^{n} \slash \sqrt{n}[/math], как было предложено несколькими ответами раньше. Я хочу понять, что значит частичные суммы ограничены в совокупности. Насколько я понимаю любую частичную сумму (-1)[math]^{n}[/math] можно ограничить сверху, скажем, 1? |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Абсолютная и условная сходимость ряда
в форуме Ряды |
4 |
481 |
23 дек 2014, 21:20 |
|
Абсолютная и условная сходимость ряда
в форуме Ряды |
1 |
305 |
21 май 2015, 20:04 |
|
Абсолютная и условная сходимость ряда
в форуме Ряды |
12 |
329 |
24 апр 2022, 22:40 |
|
Абсолютная/условная сходимость ряда
в форуме Ряды |
9 |
448 |
21 ноя 2017, 16:07 |
|
Сходимость ряда абсолютная и условная
в форуме Ряды |
3 |
491 |
27 май 2014, 19:21 |
|
Абсолютная и условная сходимость
в форуме Ряды |
2 |
431 |
02 июн 2014, 07:14 |
|
Абсолютная и условная сходимость
в форуме Ряды |
16 |
331 |
01 окт 2023, 17:27 |
|
Абсолютная и условная сходимость
в форуме Ряды |
4 |
108 |
20 май 2023, 17:51 |
|
Абсолютная и условная сходимость
в форуме Ряды |
8 |
418 |
17 май 2017, 12:27 |
|
Абсолютная и условная сходимость интеграла
в форуме Интегральное исчисление |
9 |
663 |
29 май 2014, 14:46 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |