Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда
СообщениеДобавлено: 11 дек 2017, 21:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 окт 2017, 09:36
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день, хотел бы разобраться в двух задачках
1)

[math]\sum\limits_{1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{sin^{2}{n} }{ \sqrt{n} }[/math]

С абсолютной сходимостью проблем не возникло, достаточно воспользоваться формулой понижения степени. Но проблема с условной сходимостью. Я воспользовался признаком Лейбница, но получилось, что ряд расходится (вольфрам говорит что сходится).

2)

[math]\sum\limits_{1}^{\infty } \sin({ \pi n + \frac{ \pi }{ 4} }) * \ln({1 + \frac{ 1 }{ n } })[/math]

Здесь проблема с синусом. У меня не получается его разобрать чтобы можно было по Лейбницу доказать условную сходимость. А по абсолютной я думаю что нужно воспользоваться интегральным признаком, т.к. видимо другие признаки его не берут

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда
СообщениеДобавлено: 11 дек 2017, 21:35 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 16:58
Сообщений: 1514
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
296 раз в 289 сообщениях
Очков репутации: 101

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Мне кажется, что ряд можно сравнить с рядом [math]\sum \frac{(-1) ^{n} }{ \sqrt{n} }[/math], сходящимся условно.

2. Здесь нужно преобразовать синус суммы и заменить логарифм по эквивалентности, тогда получается ряд [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math] [math]\sum \frac{ (-1)^{n} }{ n }[/math], также сходящийся условно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда
СообщениеДобавлено: 11 дек 2017, 22:11 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 2516
Cпасибо сказано: 403
Спасибо получено:
708 раз в 598 сообщениях
Очков репутации: 127

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Wulran писал(а):



[math]\sum\limits_{1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{sin^{2}{n} }{ \sqrt{n} }[/math]

С абсолютной сходимостью проблем не возникло, достаточно воспользоваться формулой понижения степени.


Действительно, абсолютной сходимости нет. Но доказательство этого не столь тривиально, поскольку просит использования признака Дирихле после разбиения ряда на разность двух рядов (один расходится, другой сходится).

Wulran писал(а):



[math]\sum\limits_{1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{sin^{2}{n} }{ \sqrt{n} }[/math]

Но проблема с условной сходимостью. Я воспользовался признаком Лейбница, но получилось, что ряд расходится (вольфрам говорит что сходится).



Условная сходимость действительно есть. Ряд (удвоенный) представляется в виде разности двух сходящихся рядов:

[math]\sum\limits_{1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{1 }{ \sqrt{n} }[/math]
и
[math]\sum\limits_{1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{\cos 2n }{ \sqrt{n} }[/math].

Попробуйте по признаку Дирихле доказать, что второй ряд тоже сходится, доказав ограниченность сумм
[math]\sum\limits_{1}^{N} (-1)^{n} \cdot \cos 2n[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда
СообщениеДобавлено: 11 дек 2017, 22:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 окт 2017, 09:36
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По поводу абсолютной сходимости первого:
У меня получилась разность [math]1 \slash \sqrt{n} - \cos{2 \alpha } \slash \sqrt{n}[/math]
Получилось что оба расходятся, первый по признаку сходимости, второй по Раабе

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда
СообщениеДобавлено: 11 дек 2017, 22:24 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 2516
Cпасибо сказано: 403
Спасибо получено:
708 раз в 598 сообщениях
Очков репутации: 127

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Wulran писал(а):
По поводу абсолютной сходимости первого:
У меня получилась разность [math]1 \slash \sqrt{n} - \cos{2 \alpha } \slash \sqrt{n}[/math]
Получилось что оба расходятся, первый по признаку сходимости, второй по Раабе

Во-первых, разность двух расходящихся рядов вполне может быть сходящейся. Во-вторых, второй ряд является сходящимся.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда
СообщениеДобавлено: 11 дек 2017, 22:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 окт 2017, 09:36
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Т.е. нужно проверить разность на сходимость используя признак Дирихле?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда
СообщениеДобавлено: 11 дек 2017, 23:23 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 2516
Cпасибо сказано: 403
Спасибо получено:
708 раз в 598 сообщениях
Очков репутации: 127

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет, нужно доказать три утверждения:

1. Первый ряд расходится.
2. Второй ряд сходится.
3. Разность расходящегося и сходящегося ряда всегда расходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда
СообщениеДобавлено: 13 дек 2017, 16:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 окт 2017, 09:36
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не очень понимаю как доказать сходимость [math]\cos{nx} \slash \sqrt{n}[/math]. Но если это доказать, то если бы первоначальный ряд сходился, то мы бы получили бы противоречие по теореме о сумме\разности сходящихся рядов.

Вообще я думаю может ли нам помочь тот факт, что у [math]\sum\limits_{1}^{n} \cos{nx} \slash n^{p}[/math] область неабсолютной сходимости [math]\left( 0;1 \right][/math] ,т.к. 2 < [math]\pi[/math]

Поправьте меня если я сейчас что-то буду врать, но насколько я понимаю по Дирихле ряд [math]\cos{nx} \slash \sqrt{n}[/math] , будет сходиться, ведь косинусы ограничены, а 1 [math]\slash \sqrt{n}[/math] монотонно стремится к 0

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда
СообщениеДобавлено: 13 дек 2017, 20:08 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 2516
Cпасибо сказано: 403
Спасибо получено:
708 раз в 598 сообщениях
Очков репутации: 127

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Wulran писал(а):

насколько я понимаю по Дирихле ряд [math]\cos{nx} \slash \sqrt{n}[/math] , будет сходиться, ведь косинусы ограничены, а 1 [math]\slash \sqrt{n}[/math] монотонно стремится к 0


Разве там требуется ограниченность одного из сомножителей общего члена ряда?
Странно, что вы даже не удосужились прочесть условия признака Дирихле.
Поэтому сразу пропадает желание помогать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда
СообщениеДобавлено: 14 дек 2017, 13:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 окт 2017, 09:36
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Признак Дирихле говорит, что ряд ограничен в том случае, если частичные суммы ряда An ограничены в совокупности, а bn монотонно стремится к 0 если n -> к бесконечности, то ряд Anbn сходится. Поэтому не стоит говорить, что я не заглядывал в книжку и не знаю признака Дирихле.
Я хочу понять правильно ли я применил его, из-за этого в общем то я и образаюсь за помощью, чтобы разъяснить то что мне непонятно.

Однако я продолжу свое рассуждение. Я свел ряд до (-1)[math]^{n} \slash \sqrt{n}[/math], как было предложено несколькими ответами раньше. Я хочу понять, что значит частичные суммы ограничены в совокупности. Насколько я понимаю любую частичную сумму (-1)[math]^{n}[/math] можно ограничить сверху, скажем, 1?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Абсолютная и условная сходимость ряда

в форуме Ряды

amennin

4

333

23 дек 2014, 21:20

Сходимость ряда абсолютная и условная

в форуме Ряды

katka_kis

3

292

27 май 2014, 19:21

Абсолютная/условная сходимость ряда

в форуме Ряды

murza

9

231

21 ноя 2017, 16:07

Абсолютная и условная сходимость ряда

в форуме Ряды

andrey1234

1

162

21 май 2015, 20:04

Абсолютная и условная сходимость числового ряда

в форуме Ряды

mds

1

807

29 окт 2010, 21:19

Абсолютная и условная сходимость

в форуме Ряды

SonnyMoore

2

179

02 июн 2014, 07:14

Абсолютная и условная сходимость

в форуме Ряды

Qller

8

221

17 май 2017, 12:27

С параметром; условная и абсолютная сходимость

в форуме Ряды

delmel

2

237

11 дек 2013, 20:21

Абсолютная и условная сходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Enosha

9

399

29 май 2014, 14:46

Абсолютная и условная сходимость рядов

в форуме Ряды

anstas_2017

8

174

18 апр 2018, 18:59


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved