Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти сумму степенного ряда и его область сходимости
СообщениеДобавлено: 06 дек 2017, 21:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 янв 2017, 17:17
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти сумму степенного ряда, применяя интегрирование, и указать область сходимости:
[math]2-8x+24x^2-64x^3+...[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму степенного ряда и его область сходимости
СообщениеДобавлено: 06 дек 2017, 22:45 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 23:28
Сообщений: 4240
Cпасибо сказано: 530
Спасибо получено:
1052 раз в 930 сообщениях
Очков репутации: 310

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если не ошибся, такой ряд [math]\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n (2n+2)x^n[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму степенного ряда и его область сходимости
СообщениеДобавлено: 07 дек 2017, 01:15 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 796
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
233 раз в 219 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nashorn000 писал(а):
Найти сумму степенного ряда, применяя интегрирование, и указать область сходимости:
[math]2-8x+24x^2-64x^3+...[/math]


А если я не ошибаюсь то сума этого ряда = [math]\frac{ 4x^{2} + 4x - 1 }{ (1+2x)^{2} }[/math], а область сходимости -[math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math] [math]<[/math] [math]\boldsymbol{x}[/math] [math]<[/math] [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math] !

Вот как получилось : ( если не ошибся!)
1) Сначала формално проинтегрируем( это разумеется возможно только если ряд АБСОЛЮТНО сходится!)
и получаем 2x - 4[math]x^{2}[/math] + 8[math]x^{3}[/math] - 16[math]x^{4} + ...[/math] ;
2) Потом ( если прибавить и вычесть 1) 1 -(1 -2x + 4[math]x^{2}[/math] - 8[math]x^{3}[/math] + 16[math]x^{4} + ...)[/math];
3) А потом полагаем y = -2x , заменяем и получаем 1 - (1 + y + [math]y^{2}[/math] + [math]y^{3}[/math] + [math]y^{4}[/math]+ ...) = 1 - [math]\frac{ 1 }{ 1 - y}[/math];
4) Не надо забывать, что мы проинтегрировали начального ряда! Тогда если продиференцируем сума ряда, а именно
[math]\frac{ 1 }{ 1 - y }[/math] то получим [math]\frac{ -1 }{ (1 - y)^{2} }[/math].[math]y'[/math] ;
5) Если учесть что y = -2x и [math]y'[/math] = -2 и совершим обратная замена то получим [math]\frac{ 2 }{ (1 + 2x)^{2} }[/math];
6) Это надо вычитать из 1! и получим 1 - [math]\frac{ 2 }{ (1 + 2x)^{2} }[/math] = [math]\frac{ (1+2x)^{2} - 2 }{(1+2x)^{2} }[/math] = [math]\frac{ 4x^{2} + 4x - 1 }{ (1 + 2x)^{2} }[/math]!
7) Область ходимости бесконечной геометрической прогресии 1 + y + [math]y^{2}[/math] + [math]y^{3} + ...[/math] это [math]\left| y \right|[/math] [math]< 1[/math] , от сюда для нашего ряда где мы положили у =-2x, получаем что его область сходимости [math]\left| x \right|[/math] [math]< \frac{ 1 }{ 2 }[/math] !

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
Nashorn000
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму степенного ряда и его область сходимости
СообщениеДобавлено: 10 дек 2017, 23:34 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 май 2017, 16:13
Сообщений: 187
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
57 раз в 57 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
А если я не ошибаюсь

Ошибаетесь. В точке [math]x=0[/math] сумма исходного ряда равна [math]2[/math], а по вашей формуле выходит [math]-1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

HitHouse

1

273

16 окт 2013, 12:36

Найти область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

bibibo

1

76

19 дек 2016, 15:28

Найти область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

grosssmile

1

450

07 окт 2012, 14:42

Найти область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

Meteri

3

781

04 мар 2013, 15:17

Найти область сходимости ряда степенного

в форуме Ряды

Adakain

1

502

14 фев 2013, 20:43

Найти область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

ASWAT

9

113

22 дек 2017, 12:08

Найти область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

maxyland

1

262

29 сен 2013, 17:47

Найти область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

Kiryanovth

3

91

14 июн 2017, 20:38

Найти область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

Olya_z

7

478

12 июн 2014, 17:26

Найти область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

gadjat

3

992

13 дек 2012, 12:08


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved