Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2017, 20:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 ноя 2017, 20:28
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дано:
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ a_{n} }{ \sqrt{n} }[/math] - сходится.
[math]a_{n}[/math] [math]\geqslant[/math] 0 и [math]a_{n+1}[/math] [math]\leqslant[/math] [math]a_{n}[/math].
Необходимо доказать, что [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math][math]a_{n}^{2}[/math] также сходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2017, 20:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 ноя 2017, 20:28
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пробовал делать через отрицание критерия Коши для ряда из [math]a_{n}^{2}[/math] т.е., пытался доказать, что если он расходится, то расходится и ряд из [math]\frac{ a_{n} }{ \sqrt{n} }[/math].

[math]\left| a_{n+1}^{2} + \cdots + a_{n+p}^{2} \ \right|[/math] [math]\geqslant \varepsilon[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\left| \frac{ a_{n+1} }{ \sqrt{n+1}} + \cdots + \frac{ a_{n+p} }{ \sqrt{n+p} } \right|[/math] [math]\geqslant \varepsilon[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2017, 21:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 ноя 2017, 20:28
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще была идея применить неравенство Коши для ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ a_{n} }{ n }[/math] ( он тоже сходится, по признаку сравнения с рядом, данным в условии)
[math]\left( \sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{ a_{n} }{ n } \right)^{2}[/math] [math]\leqslant[/math] [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }a _{n}^{2}[/math] [math]\times[/math] [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{ 1 }{ n^{2} }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 27 ноя 2017, 13:44 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 16:58
Сообщений: 1522
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
297 раз в 290 сообщениях
Очков репутации: 101

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поскольку ряд [math]\sum \frac{ a_{n} }{ \sqrt{n} }[/math] сходится, то по признаку д'Аламбера lim [math]\frac{ a_{n+1} }{a _{n} }[/math] < 1, а тогда и lim [math]\frac{ a_{n+1}^{2} }{a_{2}^{n} }[/math]<1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 27 ноя 2017, 14:16 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4006
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
856 раз в 778 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Radley писал(а):
Поскольку ряд [math]\sum \frac{ a_{n} }{ \sqrt{n} }[/math] сходится, то по признаку д'Аламбера lim [math]\frac{ a_{n+1} }{a _{n} }[/math] < 1

Это неправда.
Например, [math]a_n=\frac1n[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 27 ноя 2017, 15:29 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 16:58
Сообщений: 1522
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
297 раз в 290 сообщениях
Очков репутации: 101

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan, признаю неправоту. Привожу ещё одну попытку решения.

То, что [math]\frac{ a_{n+1} }{a _{n} }[/math] [math]\leqslant[/math] 1, дано по условию. Тогда аналогично [math]\frac{a_{n+1}^{2} }{ a_{n}^{2} }[/math] [math]\leqslant[/math] 1. Чтобы ряд сходился по д'Аламберу, необходимо выполнение аналогичных строгих неравенств. Если [math]a_{n}[/math] = [math]a_{n+1}[/math], то общий член ряда должен быть константой, но эта гипотеза противоречит тому, что сходится ряд [math]\sum \frac{ a_{n} }{ \sqrt{n} }[/math]. Поэтому нестрогое неравенство можно заменить на строгое.


Так можно рассуждать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 27 ноя 2017, 16:32 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4006
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
856 раз в 778 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет. Ряд не обязан сходиться именно по д'Аламберу.
Чтобы понять свою ошибку попробуйте применить свое рассуждение, где вместо [math]n^{\frac12}[/math] стоит [math]n^{\frac23}[/math]. Ваше "доказательство" проходит, а вот утверждение становится ложным.
Вообще использовать его в этой задаче не стоит. Признак сходимости по д'Аламберу основан на сравнении со степенным рядом [math]\sum q^n[/math], а здесь это слишком грубо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2017, 01:06 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4080
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1803 раз в 1502 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Одно доказательство тривиально получается с помощью телескопического признака сходимости, но это как-то неспортивно. Ведь этот признак не особо распространен в российских ВУЗах, так что либо придется его отдельно доказывать, либо имитировать его в данном конкретном случае.

А других идей у меня пока нет :( Было бы интересно взглянуть на решения, которые не выходят за рамки стандартных курсов по матану и при этом не особо трудоемкие.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2017, 23:59 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 549
Cпасибо сказано: 66
Спасибо получено:
175 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 33

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]{a_n}^2 = \frac{a_n}{\sqrt{n}} \cdot \left( \sqrt{n} a_n\right)[/math]. Таким образом, будет достаточно доказать ограниченность [math]b_n = \sqrt{n} a_n[/math].

Так как ряд имеет неотрицательные монотонно убывающие члены и сходится, то найдется [math]M > 0[/math], такое что при всяком натуральном [math]n[/math]:

[math]M \geqslant \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{a_k}{\sqrt{k}} \geqslant \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{a_n}{\sqrt{n}} = n \cdot \frac{a_n}{\sqrt{n}} = \sqrt{n} a_n = b_n[/math]. Таким образом, для любого натурального [math]n[/math] будет справедливо [math]0 \leqslant b_n \leqslant M[/math].

Тогда [math]{a_n}^2 \leqslant \frac{a_n}{\sqrt{n}} \cdot M[/math]. Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{+\infty} {a_n}^2[/math] сходится по признаку сравнения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
Human
 Заголовок сообщения: Re: Доказать сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 29 ноя 2017, 13:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4080
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1803 раз в 1502 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
[math]{a_n}^2 = \frac{a_n}{\sqrt{n}} \cdot \left( \sqrt{n} a_n\right)[/math]. Таким образом, будет достаточно доказать ограниченность [math]b_n = \sqrt{n} a_n[/math].

Точно. Я куда-то совсем в дебри полез, а ответ на поверхности лежал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать сходимость ряда

в форуме Ряды

oksanakurb

1

208

19 янв 2012, 20:32

Доказать сходимость ряда

в форуме Ряды

chenn

3

364

27 май 2012, 16:43

Доказать сходимость ряда

в форуме Ряды

Ermanyasha

3

837

28 апр 2010, 21:30

Доказать сходимость ряда

в форуме Ряды

aleebai

4

227

01 дек 2013, 10:58

Доказать сходимость ряда

в форуме Ряды

alex_mench

2

200

06 дек 2013, 21:12

Доказать сходимость ряда

в форуме Ряды

andrei245

5

212

26 окт 2014, 22:06

Доказать сходимость ряда

в форуме Ряды

Wulran

3

134

26 ноя 2017, 23:25

Доказать сходимость ряда

в форуме Ряды

oksanakurb

1

208

10 янв 2012, 17:59

Доказать сходимость ряда

в форуме Ряды

CredoPugno

7

167

20 дек 2016, 20:42

Как доказать условную сходимость ряда sin(n)/n

в форуме Ряды

yul

1

1021

27 янв 2012, 11:20


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved