Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Абсолютная/условная сходимость ряда
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=56759
Страница 1 из 1

Автор:  murza [ 21 ноя 2017, 16:07 ]
Заголовок сообщения:  Абсолютная/условная сходимость ряда

Доброго времени суток, друзья - математики!
Помогите пожалуйста решить задачку.
Найти все значения параметра q, при которых ряд a) сходится абсолютно б) сходится условно

[math]\sum\limits_{1}^{inf}(\sqrt{n + (-1)^{n}} - \sqrt{n}) * \operatorname{arcctg} (n)^{q}[/math]

Заранее спасибо!

Автор:  murza [ 21 ноя 2017, 16:30 ]
Заголовок сообщения:  Абсолютная/условная сходимость ряда

Доброго времени суток, друзья - математики!
Помогите пожалуйста решить задачку.
Найти все значения параметра q, при которых ряд a) сходится абсолютно б) сходится условно

[math]\sum\limits_{1}^{inf}(\sqrt{n + (-1)^{n}} - \sqrt{n}) * \operatorname{arcctg} (n)^{q}[/math]

Заранее спасибо!

Автор:  Human [ 21 ноя 2017, 20:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Абсолютная/условная сходимость ряда

Тот же совет, что и в другой Вашей теме: получить удобную асимптотику.

Автор:  anonim228 [ 22 ноя 2017, 12:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Абсолютная/условная сходимость ряда

Тут арктангенс возводится в степень [math]q[/math] или [math]n[/math] ?

Автор:  murza [ 22 ноя 2017, 23:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Абсолютная/условная сходимость ряда

anonim228, в степень q

Автор:  anonim228 [ 22 ноя 2017, 23:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Абсолютная/условная сходимость ряда

murza
Арктангенс возводится?

Автор:  murza [ 23 ноя 2017, 20:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Абсолютная/условная сходимость ряда

Нет, n

Автор:  Human [ 24 ноя 2017, 20:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Абсолютная/условная сходимость ряда

anonim228 писал(а):
Арктангенс возводится?

Там арккотангенс.

Автор:  anonim228 [ 25 ноя 2017, 19:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Абсолютная/условная сходимость ряда

[math](\sqrt{n + (-1)^{n}} - \sqrt{n}) \operatorname{arcctg} (n^{q})=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^{n} } +\sqrt{n}}\operatorname{arcctg} (n^{q})[/math]

Рассмотрим ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^{n} } +\sqrt{n}}[/math]. Он является знакопеременным, общий член стремится к [math]0[/math], последовательность модулей монотонно убывает, поэтому ряд сходится по признаку Лейбница. Последовательность [math]\operatorname{arcctg}(n^q)[/math] является монотонной и ограниченной при любом [math]q \ne 0[/math] (если [math]q=0[/math], [math]\operatorname{arcctg}(n^0)=\operatorname{arcctg}(1)=\frac{\pi}{4}[/math], тогда ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^{n}}+\sqrt{n}}\frac{\pi}{4}[/math]сходится по признаку Лейбница), тогда исходный ряд сходится по признаку Абеля при [math]\forall q \in \mathbb{R}[/math].

Исследуем ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^{n} } +\sqrt{n}} \operatorname{arcctg}(n^q)[/math] на абсолютную сходимость. Модуль общего члена - это [math]\frac{\operatorname{arcctg}(n^q)}{\sqrt{n+(-1)^{n}}+\sqrt{n}}[/math]

Если [math]q<0[/math], то [math]{\operatorname{arcctg}(n^q)} \to \frac{\pi}{2}[/math] при [math]n \to \infty[/math], [math]\sqrt{n+(-1)^{n} }+\sqrt{n} \sim 2\sqrt{n}[/math] тогда

[math]\frac{\operatorname{arcctg}(n^q)}{\sqrt{n+(-1)^{n}}+\sqrt{n}} \sim \frac{\pi}{4\sqrt{n}}[/math]. Отсюда видно, что исходный ряд не является абсолютно сходящимся при [math]q<0[/math]. При [math]q=0[/math], очевидно, результат такой же.



При [math]q>0 \ \operatorname{arcctg}(n^q) \sim \frac{1}{n^q}[/math] (это можно проверить по правилу Лопиталя, сосчитав предел), [math]\sqrt{n+(-1)^{n}} +\sqrt{n} \sim 2\sqrt{n}[/math] , тогда [math]\frac{\operatorname{arcctg}(n^q)}{\sqrt{n+(-1)^{n}}+\sqrt{n}} \sim \frac{1}{2n^{q+\frac{1}{2}}}[/math]. При [math]q>\frac{1}{2}[/math] исходный ряд абсолютно сходится, а при [math]0<q \leqslant \frac{1}{2}[/math] не является абсолютно сходящимся.

При [math]q>\frac{1}{2}[/math] исходный ряд сходится абсолютно, а при [math]q \leqslant \frac{1}{2}[/math] условно.

Автор:  Human [ 25 ноя 2017, 20:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Абсолютная/условная сходимость ряда

anonim228 писал(а):
[math]\operatorname{arcctg}(n^q) \sim \frac{1}{n^q}[/math] (это можно проверить по правилу Лопиталя, сосчитав предел)

[math]\operatorname{arcctg}x=\operatorname{arctg}\frac1x,\ x>0[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/