Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
murza |
|
|
Помогите пожалуйста решить задачку. Найти все значения параметра q, при которых ряд a) сходится абсолютно б) сходится условно [math]\sum\limits_{1}^{inf}(\sqrt{n + (-1)^{n}} - \sqrt{n}) * \operatorname{arcctg} (n)^{q}[/math] Заранее спасибо! |
||
Вернуться к началу | ||
murza |
|
|
Доброго времени суток, друзья - математики!
Помогите пожалуйста решить задачку. Найти все значения параметра q, при которых ряд a) сходится абсолютно б) сходится условно [math]\sum\limits_{1}^{inf}(\sqrt{n + (-1)^{n}} - \sqrt{n}) * \operatorname{arcctg} (n)^{q}[/math] Заранее спасибо! |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Тот же совет, что и в другой Вашей теме: получить удобную асимптотику.
|
||
Вернуться к началу | ||
anonim228 |
|
|
Тут арктангенс возводится в степень [math]q[/math] или [math]n[/math] ?
|
||
Вернуться к началу | ||
murza |
|
|
anonim228, в степень q
|
||
Вернуться к началу | ||
anonim228 |
|
|
murza
Арктангенс возводится? |
||
Вернуться к началу | ||
murza |
|
|
Нет, n
|
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
anonim228 писал(а): Арктангенс возводится? Там арккотангенс. |
||
Вернуться к началу | ||
anonim228 |
|
|
[math](\sqrt{n + (-1)^{n}} - \sqrt{n}) \operatorname{arcctg} (n^{q})=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^{n} } +\sqrt{n}}\operatorname{arcctg} (n^{q})[/math]
Рассмотрим ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^{n} } +\sqrt{n}}[/math]. Он является знакопеременным, общий член стремится к [math]0[/math], последовательность модулей монотонно убывает, поэтому ряд сходится по признаку Лейбница. Последовательность [math]\operatorname{arcctg}(n^q)[/math] является монотонной и ограниченной при любом [math]q \ne 0[/math] (если [math]q=0[/math], [math]\operatorname{arcctg}(n^0)=\operatorname{arcctg}(1)=\frac{\pi}{4}[/math], тогда ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^{n}}+\sqrt{n}}\frac{\pi}{4}[/math]сходится по признаку Лейбница), тогда исходный ряд сходится по признаку Абеля при [math]\forall q \in \mathbb{R}[/math]. Исследуем ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^{n} } +\sqrt{n}} \operatorname{arcctg}(n^q)[/math] на абсолютную сходимость. Модуль общего члена - это [math]\frac{\operatorname{arcctg}(n^q)}{\sqrt{n+(-1)^{n}}+\sqrt{n}}[/math] Если [math]q<0[/math], то [math]{\operatorname{arcctg}(n^q)} \to \frac{\pi}{2}[/math] при [math]n \to \infty[/math], [math]\sqrt{n+(-1)^{n} }+\sqrt{n} \sim 2\sqrt{n}[/math] тогда [math]\frac{\operatorname{arcctg}(n^q)}{\sqrt{n+(-1)^{n}}+\sqrt{n}} \sim \frac{\pi}{4\sqrt{n}}[/math]. Отсюда видно, что исходный ряд не является абсолютно сходящимся при [math]q<0[/math]. При [math]q=0[/math], очевидно, результат такой же. При [math]q>0 \ \operatorname{arcctg}(n^q) \sim \frac{1}{n^q}[/math] (это можно проверить по правилу Лопиталя, сосчитав предел), [math]\sqrt{n+(-1)^{n}} +\sqrt{n} \sim 2\sqrt{n}[/math] , тогда [math]\frac{\operatorname{arcctg}(n^q)}{\sqrt{n+(-1)^{n}}+\sqrt{n}} \sim \frac{1}{2n^{q+\frac{1}{2}}}[/math]. При [math]q>\frac{1}{2}[/math] исходный ряд абсолютно сходится, а при [math]0<q \leqslant \frac{1}{2}[/math] не является абсолютно сходящимся. При [math]q>\frac{1}{2}[/math] исходный ряд сходится абсолютно, а при [math]q \leqslant \frac{1}{2}[/math] условно. |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 10 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Абсолютная и условная сходимость ряда
в форуме Ряды |
4 |
481 |
23 дек 2014, 21:20 |
|
Абсолютная и условная сходимость ряда
в форуме Ряды |
12 |
329 |
24 апр 2022, 22:40 |
|
Абсолютная и условная сходимость ряда
в форуме Ряды |
1 |
305 |
21 май 2015, 20:04 |
|
Сходимость ряда абсолютная и условная
в форуме Ряды |
3 |
491 |
27 май 2014, 19:21 |
|
Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда
в форуме Ряды |
10 |
739 |
11 дек 2017, 21:03 |
|
Абсолютная и условная сходимость
в форуме Ряды |
2 |
431 |
02 июн 2014, 07:14 |
|
Абсолютная и условная сходимость
в форуме Ряды |
16 |
331 |
01 окт 2023, 17:27 |
|
Абсолютная и условная сходимость
в форуме Ряды |
4 |
108 |
20 май 2023, 17:51 |
|
Абсолютная и условная сходимость
в форуме Ряды |
8 |
418 |
17 май 2017, 12:27 |
|
Абсолютная и условная сходимость рядов
в форуме Ряды |
8 |
449 |
18 апр 2018, 18:59 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |